Pokerspel
Okej, jag är helt lost. Jag pluggar på hemsidan eddler.se (den som hette matematikvideo.se innan), där finns det två stycken pokeruppgifter som de på hemsidan har valt att lösa på två helt olika sätt. Fråga ett är:
Vid ett pokerspel delas fem kort ut från en vanlig kortlek med 52 kort. Hur stor är sannolikheten att få ett fyrtal i ess jämfört med en royal flush (ess, kung, dam, knekt och tio i samma färg)?
I facit står det följande:
Fyrtal i ess: 4/52⋅3/51⋅2/50⋅1/49⋅48/48= 1152/(52*51*50*49*48)
Royal flush: 5/52⋅4/51*3/50⋅2/49⋅1/48=120/(52⋅51⋅50⋅49⋅48)
Jämförelse av sannolikheten: 1152/120=9,6 ≈10, alltså är sannolikheten 10 gånger så stor.
Det jag undrar i denna frågan är varför det i början är "5/52", för jag förstår att det skall vara "4/51*3/50⋅2/49⋅1/48" efter den första i och med att det skall vara samma färg, men det första kortet man tar är väl inte "5/52" sannolikhet att man tar i och med att man inte valt en färg då än? Borde det inte istället vara 20/52? I och med att man som första kort kan ta antingen spader, hjärter, ruter eller klöver ess, kung, dam, knekt eller tio. Det blir väl totalt 20 kort och inte bara 5?
Andra frågan jag undrar över är följande:
Hur stor är sannolikheten att i poker få en kåk redan i given, dvs av de fem kort som delas ut från början? Svara i procent med två decimaler.
(Kåk innebär en triss och ett par.)
I facit står detta:
Varför löser man denna uppgiften på ett helt annat sätt? Varför räknar man i denna uppgiften ut antalet sätt att få någonting och sen dividerar man på alla sätt som går att få? Då skulle man väl lika gärna kunna tänka likadant i uppgiften innan att det finns bara ett sätt att få fyrtal i 4 ess, och sen finns det 48 andra kort som man kan ta upp som sitt 5:e kort, eftersom 52 (alla kort som finns) - 4 (alla ess) = 48. Men 48/(52 över 5) ger inte samma svar som det som står i facit? Hur kommer det sig? När skall man veta när man skall använda sig av vilket räknesätt, för enligt mig är det ingen större skillnad i dessa två frågor och jag fattar inte varför man löser dem på två helt olika sätt som ger olika svar ifall man testar ena lösningen på den andra frågan.
Kanske inte den bästa förklaringen men jag hoppas i alla fall att någon förstår vad jag försöker förmedla.
Jo, jag håller med om att den första faktorn borde vara 20/52, alternativt skulle man ha multiplicerat med 4.
Om du skall beräkna på ditt nedersta sätt, blir det 48/(48 över 5) eftersom det bara är 48 kort kvar när du har tagit bort essen. När du har räknat fram till att det bara finns 1 sätt att dra 4 ess har du ju redan likställt alla 4! olika ordningar du kan dra essen i.
Det ger fortfarande inte samma svar, och det är det jag undrar hur det kan komma sig. För 4/52⋅3/51⋅2/50⋅1/49⋅48/48 är inte samma sak som 48/(48 över 5)
Nej, du har rätt, det funkar inte, jag tänkte fel. Då är det väl bara att konstatera att det inte är ett bra sätt, eftersom det döljer att det finns sammanlagt 4!*48 olika sätt att kombinera ihop ett fyrtal, om man tar hänsyn till ordningen.
Så som uppgiften är formulerad så skulle jag säga att facit har helt fel om båda de två första sannolikheterna och därför också får fel kvot mellan dem. Kolla:
Antalet fyrtal i ess är helt enkelt eftersom vi "väljer" alla fyra essen och multiplicerar det med antalet sätt vi kan välja det femte kortet från de 48 kvarvarande (det är väldigt intuitivt att antalet blir 48, för med fyra ess på hand så finns det ju bara ett kort som kan variera och det kan anta 48 olika värden).
Sannolikheten att få fyrtal i ess när man får fem kort är alltså . Denna sannolikhet är precis fem gånger så stor som facits . Men varför blir det sistnämnda fel då? Varför kan man inte tänka så och varför blir det just en femtedel av den riktiga sannolikheten?
Jo, med facits räknesätt så räknar vi bara ut en onödigt specifik sannolikhet—nämligen den att vi, när vi tar ett kort i taget, får fyra ess på rad och sedan ett annat kort på slutet. Vi har alltså antagit att det finns en speciell plats ("den sista") och att det kort som inte är ett ess måste komma på just den platsen. Men i en pokerhand så spelar ju ordningen ingen roll, så om vi får våra kort i ordningen E-E-E-E-X eller t.ex. E-E-E-X-E spelar ingen roll. Eftersom vi inte bara söker sannolikheten för en specifik av dessa möjligheter så behöver vi alltså ta med i beräkningarna att icke-esset kan hamna var som helst.
Enklast är att tänka att vi multiplicerar med 5 för att det finns =5 sätt att välja plats åt icke-esset. Gillar man inte det så kan man istället tänka att vi räknar ut sannolikheterna för alla ordningar P(EEEEX), P(EEEXE), P(EEXEE), P(EXEEE) och P(XEEEE) och summerar dem, men eftersom alla dessa har samma sannolikhet så behöver vi bara räkna ut en av dem (t.ex. den som räknats ut i facit) och sedan multiplicera den sannolikheten med fem. Då får vi också rätt svar.
Sannolikheten som anges för royal flush stämmer som sagt inte heller. Royal flush är en färgstege med ess i toppen. Det finns alltså sammanlagt bara 4 olika sätt att få royal flush—ett sätt för varje färg. Det gör sannolikheten till . Men sannolikheten som facit ger är . Noter att täljaren är en fjärdedel så stor medan nämnarna är desamma och att facit alltså inte har räknat ut den generella sannolikheten för att få någon royal flush utan för att få en specifik av de fyra möjliga. Precis som när det gällde fyrtal i ess så vore det alltså möjligt att räkna ut sannolikheten för en specifik hand och sedan multiplicera med antalet möjliga sådana händer, men det är ofta enklare att tänka kombinatoriskt.
När facit sedan jämför sannolikheterna så blir det således också fel, för där borde vi alltså få 48/4 = 12, så sannolikheten att få fyrtal i ess är 12 gånger så stor som sannolikheten att få royal flush.
Det finns ofta olika sätt att lösa samma uppgift och det kan vara lite individuellt vilket man tycker känns enklast eller mest intuitivt. Men kontentan är att jag tycker du har rätt och håller med dig om att de borde ha använt samma tänkesätt angående fyrtal och flush som de gjorde för kåk. Då hade de kanske inte klantat sig. :)
