Poissonprocessen, förenkling av uttryck

Hej!
"Låt {N(t),t >= 0} vara en Poisson-process med intensiteten $λ = 0, 5$ beräkna

$c) P (N (2) = 1, N (3) - N (1) = 1)$ "

Vad jag gjort på är delat upp N(s), N(s+t) etc. utmed en tallinje innehållande 0, 1, 2, 3
(Aldrig använt "," som skiljetecken i sannolikheter men antar att det är och? Bara använt U, omvänt U och "och". )

$P (N (2) = 1 \cap N (3) - N (1) = 1)$

Mellan t = 0 och t = 2 så har vi en observation.
Mellan t = 3 och t = 1 så har vi en observation, enligt ovanstående påståenden.

"Tidsmässigt" sammanfaller då området t = 1 till t = 2 med varandra.
Så det jag egentligen inte vet är hur jag ska göra det till oberoende observationer.

Hur vet jag att inte en observation sker mellan t = 1 och t = 2? Hur vet jag hur många observationer totalt som händer? Iom att det är "och" så kan det vara 2, en mellan t = 0 och t = 2 samt en mellan t = 2 och t = 3?

Hade uppskattat hjälp! :-)

Hej,

Till att börja med kan du skriva ökningen

$N_3-N_1 = (N_3-N_2)+(N_2-N_1)$

där ökningarna $N_3-N_2$ samt $N_2-N_1$ är oberoende slumpvariabler.

För att händelsen $N_3-N_1=1$ ska inträffa kan endera av två utfall uppstå: $N_3-N_2=1$ och $N_2-N_1=0$ alternativt $N_3-N_2=0$ och $N_2-N_1=1$ .

Tack Albiki, alltid så hjälpsam! :-)

Men, då kvarstår frågan. Om jag delar upp N(3)-N(1) = 1 i två intervall, då kan följande gälla:
- N(3)-N(2)=1 och N(2)-N(1)=0
alt..
- N(3)-N(2)=0 och N(2)-N(1)=1

Detta är en omskrivning av parameter B i ursprungsformuleringen. Samtidigt som N(2)=1 som parameter "A" är i ursprungsformuleringen, man måste ju anta att N(2)=1 uppstår. Så mellan t = 0 och t = 2 är det strikt en observation.

Får jag då skriva
P( N(2)=1 ∩ ( N(3)-N(2)=1 ∩ N(2)-N(1) = 0)) ?
Skriv gärna hur du skulle formulera uttrycket, vore väldigt uppskattat.

Svara