Poisson Process

Hej,

Håller på med ett bevis av en poisson process. I en del av beviset har jag följande uträkning:

Givet n > 0:

$p_{n} (t + ∆ t) = P [X (t + ∆ t) = n] = P [X (t) = n \cap X (t + ∆ t) - X (0) = 0] + P [X (t) = n - 1 \cap X (t + ∆ t) - X (0) = 1] + \sum_{k = 2}^{n} P [X (t) = n - k \cap X (t + ∆ t) - X (0) = k]$

Ett condition i definitionen för en Poisson Process är att X(0) = 0. Om jag tänker att n = 9 till exempel då blir ju exempelvis:

$P [X (t) = n - 1 \cap X (t + ∆ t) - X (0) = 1]$ sannolikheten för att vi vi period X(t) har 8 event samtidigt som vi vid tiden $t + ∆ t$ har 1 event, eller tolkar jag det fel? Det här borde ju bli sannolikhet 0 givet att $∆ t$ > 0 vilket jag antar att det är.

Något som hade känts mer naturligt för mig är om man hade skrivit:

$p_{n} (t + ∆ t) = P [X (t + ∆ t) = n] = \sum_{k = 0}^{n} P [X (t) = n - k \cap X (t + ∆ t) - X (t) = k]$

Det känns som att så som dom presenterar det i boken, där dom alltså har att

$p_{n} (t + ∆ t) = P [X (t + ∆ t) = n] = \sum_{k = 0}^{n} P [X (t) = n - k \cap X (t + ∆ t) - X (0) = k]$

så tänker jag att så länge n - k > k så borde sannolikheten bli noll?

För övrigt tänker jag också att:

$P [X (t + ∆ t) = n] = P [X (t + ∆ t) = n \cap X (t + ∆ t) - X (0) = n]$

Är lite ringrostig på sannolikhet så kanske har missuppfattat massor med delar här, men hade uppskattat lite hjälp att förstå hur dom resonerar i boken :)

Tack på förhand!

Jag skulle säga att det måste vara ett typo i boken. Där det står X(0) bör det stå X(t). Kan inte förstå det på något annat sätt.

Du har rätt! Hittade en lista med fel i boken och där har dom tagit upp det. Segt att jag inte hittade det innan...

Tack för hjälpen :)

Hej,

Tre saker att känna till:

Om en Poissonprocess hoppar så är hoppets storlek alltid 1.
Under ett kort tidsintervall $[t,t+h]$ kan endera av två saker ske: Inget hopp, eller ett enda hopp.
Slumpvariabeln $X_t$ räknar det sammanlagda antalet hopp som inträffar från start till tidpunkten $t$ .

Du vet att under tidsintervallet $[0,t+h]$ har det inträffat sammanlagt $X_{t+h}=n$ stycken hopp. Två saker kan då ha inträffat: Under tidsintervallet $[t,t+h]$ skedde inga hopp, eller under tidsintervallet $[t,t+h]$ skedde ett enda hopp. I det första fallet är $X_t=n$ och i det andra fallet är $X_t = n-1$ .

$p_{t+h}(n) = p_t(n)\cdot P(\text{Inget hopp under }[t,t+h]) + p_{t}(n-1)\cdot P(\text{Ett enda hopp under }[t,t+h]).$

Sannolikheten för ett enda hopp under det korta tidsintervallet är proportionell mot tidsintervallets längd, så

$P(\text{Ett enda hopp under }[t,t+h]) = \lambda \cdot h$

vilket ger $P(\text{Inget hopp under }[t,t+h]) = 1-\lambda \cdot h$ och Poissonprocessens dynamik blir

$\displaystyle p_{t+h}\left(n\right) = \left(1-\lambda h\right)p_{t}\left(n\right)+\lambda h p_{t}\left(n-1\right) \Longleftrightarrow \frac{p_{t+h}(n)-p_{t}(n)}{h} = -\lambda \cdot \frac{p_t(n)-p_t(n-1)}{n-(n-1)}$

Om man låter tid och antal hopp vara lika betydelsefulla hos notationen så skriver man $p(t,n)$ istället för $p_t(n)$ och då underlättar det att se vad som händer med Poissonprocessens dynamik när $h\to 0$ :

$\displaystyle\frac{\partial p}{\partial t} = -\lambda \frac{\partial p}{\partial n} \iff \frac{\partial p}{\partial t} + \lambda \frac{\partial p}{\partial n} 0.$

Svara

Visa senaste svar