Plotta kurva, tolkning av funktionen.

Hej!

Behöver hjälp med denna uppgift, min första fundering kring kurvan är uttrycket g(y)=x.

I vanliga fall där f(x)=y så innebär det att man stoppar in ett x-värde i funktionen och får ut ett y-värde.

Då borde g(y)=x innebära att man stoppar in ett y värde och får ut x-värde.

Steg 1.

Alfa =-1 och Beta= 1, innebär ju att y är -1 och 1, $g (y) = e^{y} + y^{3} b l i r v i d g (a) = \frac{1}{e} - 1 o c h g (b) = e + 1$

Om jag ska plotta kurvan gamma, då blir det väl 2 separata kurvor en för "g av alfa" och en för "g av Beta" ?

Steg 2.

Använda newtons metod för att bestämma nollstället, jag tolkar att (0,a) är noll på x-axel och a på y-axel, menas det då att kurvan ska starta såhär ?

Newton Raphsons metod:

$y = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0}) b o r d e b l i x = f' (y_{0}) (y - y_{0}) + f (y_{0}) o c h n u s k a j a g a p p r o x i m e r a n o l l s t ä l l e t d v s h i t t a r o t e n t i l l e k a t i o n e n g (y) = e^{y} + y^{3}$

$i t e r a t i o n s f o r m e \ln : y = y_{0} - \frac{f (y_{0})}{f' (y_{0})} = a - \frac{e^{a} + a^{3}}{e^{a +} 3 a^{2}}$

(0, a) eller (0, $\alpha$ ) ligger på y-axeln. De vill veta var kurvan skär y-axeln.

Varför de har vänt på x och y vet jag inte.

Ja precis den ligger på värde a på y-axeln, det är

min tolkning också!

Om jag testar i funktionen

(0) = 1

(-1)=-0,63

(-0,01)=-0,00995

Det innebär att funktionen har ett nollställe mellan funktionsvärdet 0 och -1, så kan jag tex välja -(1/2) som startvärde?

Laguna hur tolkar du frågan om att plotta grafen, blir det 2 separata kurvor?

-1/2 fungerar säkert bra.

Men f(-0,01) stämmer inte.

Plotten gäller bara kurvan g(y).

-0,01 är ju mellan 0 och -1/2, ?

Min tolkning:

a) Plotta den implicita funktionen $γ : e^{y} + y^{3} = x$ mellan

$x = e^{- 1} - 1 = - 0.632 . . .$ och $x = e + 1 = 3.718 . . .$ .

b) Lös ekvationen $e^{y} + y^{3} = 0$

c) Synonymt med att $g' (y) > 0$ för alla $y$ .

Liddas skrev:
-0,01 är ju mellan 0 och -1/2, ?

Ja, det är det väl, men funktionsvärdet är inte det du skrev.

Då är det alltså gamma som ska plottas i intervallet [f(a),f(B)].

Är det såhär newtons metod fungerar:

$y = y_{0} - \frac{f (x)}{f' (x)} = \frac{e^{- 0, 5} + (- 0, 5^3)}{e^{- 0, 5} + 3 * {(- 0, 5)}^{2}} = - \frac{1}{2} - \frac{0, 4815}{1, 3565} = - 0, 8549 y = - 0, 8549 - \frac{f (- 0, 8549)}{f' (- 0, 8549)} = - 0, 8549 - \frac{- 0, 1996}{2, 6181} = - 0, 7789$

Liddas skrev:
Är det såhär newtons metod fungerar:
$y = y_{0} - \frac{f (x)}{f' (x)} = \frac{e^{- 0, 5} + (- 0, 5^3)}{e^{- 0, 5} + 3 * {(- 0, 5)}^{2}} = - \frac{1}{2} - \frac{0, 4815}{1, 3565} = - 0, 8549 y = - 0, 8549 - \frac{f (- 0, 8549)}{f' (- 0, 8549)} = - 0, 8549 - \frac{- 0, 1996}{2, 6181} = - 0, 7789$

Det ser bra ut, men håll reda på vad som är x och y i det här problemet.

Liddas skrev:
Är det såhär newtons metod fungerar:
$y = y_{0} - \frac{f (y)}{f' (y)} = \frac{e^{- 0, 5} + (- 0, 5^3)}{e^{- 0, 5} + 3 * {(- 0, 5)}^{2}} = - \frac{1}{2} - \frac{0, 4815}{1, 3565} = - 0, 8549 y_{1} = - 0, 8549 - \frac{f (- 0, 8549)}{f' (- 0, 8549)} = - 0, 8549 - \frac{- 0, 1996}{2, 6181} = - 0, 7789 y_{2} = - 0, 7789 - \frac{f (- 0, 7789)}{f' (- 0, 7789)} = - 0, 7789 - \frac{- 0, 01363}{- 1, 361145} = - 0, 7889 y_{3} = - 0, 7889 - \frac{f (- 0, 7889)}{f' (- 0, 7889)} = - 0, 7889 - \frac{- 0, 036669}{2, 321} = - 0, 77311 y_{4} = - 0, 7731 - \frac{f (- 0, 7731)}{f' (- 0, 7731)} = - - 0, 7731 - \frac{- 0, 000523}{2, 2547} = - 0, 0002318$

Om jag nu ska visa att derivatan är större än noll på alla g'(y) , jag kan ju rimligtvis inte sätta in alla värden som finns och visa?

Derivatan för funktionen är ju g’(y)= e^y+3(y^2) , och e^y = >0 för alla Reella tal

3(y^2 )= >0 för alla Reella tal utom 0

men summan av den uppdelade funktionen kan aldrig bli mindre än 0!

Liddas skrev:
Derivatan för funktionen är ju g’(y)= e^y+3(y^2) , och e^y = >0 för alla Reella tal
3(y^2 )= >0 för alla Reella tal utom 0
men summan av den uppdelade funktionen kan aldrig bli mindre än 0!
?

Exakt. Eftersom $e^{y} + 3 y^{2} > 0$ för alla $y$ har du visat det som skulle visas.

Svara

Visa senaste svar