Plötslig fundering: inf - inf

Vsauce har gjort en bra video om oändligheter. Kort sagt: Det fungerar inte direkt att räkna på detta aritmetiska sätt med oändligheter. Om man ska vara sådan är $\infty -1=\infty$, och $\infty -2=\infty$, ... , $\infty -1000000=\infty$ hela vägen ned till $\infty -\infty =\infty$, men återigen, det är inte matematiskt korrekt att räkna på detta sätt. 

Dessutom blir det konstigt då olika oändligheter är olika stora. Vissa oändligheter är mycket större än andra oändligheter, så vilken oändlighet är det egentligen du syftar på när du skriver en liggande åtta? Det blir ingenting vettigt av det hela. :)

Ditt krav att det ska förklaras för en person utan "ingående matematikkunskap" gör det svårt, då en sådan person förmodligen inte vet vad symbolen $\infty$ eller $-\infty$ står för. Hur skulle du själv förklara begreppet "oändligheten" för en person som saknar "ingående matematikkunskap"?

$\infty-\infty$ kan bli precis vad som helst.Tre exempel:

1. Lägg oändligt många numrerade kulor i en (oändligt stor) urna. Plocka bort alla kulor i tur och ordning. Hur måga kulor är kvar?
2. Lägg oändligt många numrerade kulor i en (oändligt stor) urna. Plocka bort alla kulor med udda nummer i tur och ordning. Hur måga kulor är kvar?
3. Lägg oändligt många numrerade kulor i en (oändligt stor) urna. Plocka bort alla kulor i tur och ordning, med början på kula nummer 11. Hur måga kulor är kvar?

En person utan ingående matematikkunskap skulle förmodligen tro att du skrivit fel och säga att det är väl självklart att $8-8=0$.

Skämt åsido så är det du skrivit meningslöst eftersom det indikerar att symbolen $\infty$ betecknar ett tal, vilket det definitivt inte är. Om det vore ett tal så skulle $\infty-\infty=\infty$ medföra att antingen är $\infty=0$ eller så är $2=1$.

Tack för svaren! 

Direkt inser jag att jag själv saknar ingående kunskap. Ett flertal Aha-upplevelser efter era svar och famlande på websidor. Jag har hittat flera störande påståenden, t ex:

$$\begin{gathered} 0*\infty \to indeterminable \\ {1}^{\infty }\to indeterminable \end{gathered}$$

Ingen oändlighet, så vet man inte vad man har.

1*1, nja, det är inte säkert att det verkligen blir 1.

Minst sagt spännande. Måste lära mig mer! 

Tips på fler bra länkar vore tacksamt, även om jag redan hittat några själv.

Du kommer lära dig detta mer ordentligt när du lär dig om gränsvärden. Vad svaret på beräkningar som ser ut att bli $0\cdot\infty$ blir beror nämligen väldigt mycket på hur man närmar sig $0$ och hur man närmar sig $\infty$.

T.ex. om vi låter $x$ gå mot oändligt stort i följande uttryck:

$\dfrac{1}{x}\cdot x^2$

ser det ju ut att bli $0\cdot\infty$ (eftersom $\frac{1}{x}$ blir mindre och mindre och $x^2$ blir större och större), men om vi använder våra algebrakunskaper kan vi förenkla det hela till att bli:

$\dfrac{1}{x}\cdot x^2=\dfrac{x^2}{x}=x$

vilket går mot oändligheten.

Men om vi tar ett annat uttryck:

$\dfrac{1}{x^2}\cdot x$

som också ser ut att bli $0\cdot\infty$ får vi en annan förenkling

$\dfrac{1}{x^2}\cdot x=\dfrac{x}{x^2}=\dfrac{1}{x}$

vilket går mot noll. Man kan alltså få flera olika svar på $0\cdot\infty$ beroende på hur man närmar sig oändligheten och hur man närmar sig noll. Därför är det viktigt att beskriva med vilket uttryck vi närmar oss oändligheten för att det skall gå att säga något meningsfullt om vad $\infty-\infty$ blir. Som man märker med Smaragdalenas kulor kan man få alla möjliga svar om man bara säger oändligheten minus oändligheten, men om man specificerar en metod för hur man ska göra finns det ett entydigt svar.

Wolfram skrev:

Tack för svaren! 

Direkt inser jag att jag själv saknar ingående kunskap. Ett flertal Aha-upplevelser efter era svar och famlande på websidor. Jag har hittat flera störande påståenden, t ex:

$$\begin{gathered} 0*\infty \to indeterminable \\ {1}^{\infty }\to indeterminable \end{gathered}$$

Ingen oändlighet, så vet man inte vad man har.

1*1, nja, det är inte säkert att det verkligen blir 1.

Minst sagt spännande. Måste lära mig mer! 

Tips på fler bra länkar vore tacksamt, även om jag redan hittat några själv.

1*1 är väl alltid 1. Men däremot är 0⁰ inte väldefinierat rakt av.

I en del sammanhang kan man "räkna" med oändligheten, t.ex. har man en oändlighetspunkt i viss sorts geometri.

$0^0$ hade jag inte reflekterat över än. I allmänhet är ju $x^0=1$. 

Jag går bet på att hitta enkla förklaringar för oändlighet. Utan ingående kunskap så är det omöjligt att förstå $1^{\infty }$ och $0*\infty$. Det är inget bakslag, snarast en fördel efter som svårsläckt kunskapstörs är något bra. Det leder framåt.