Plötslig fundering

Derivatan är inte en rät linje, den är bara ett tal. Däremot är tangenten en rät linje med samma lutning.

Du har helt rätt i att tangenten till en tvåvariabelfunktion blir ett plan. I två variabler har man nämligen två olika derivator, en i $x$-led och en i $y$-led. Ett tangentplan till denna funktion är då ett plan där lutningen i båda riktningar är samma som för funktionsytan i punkten som tangeras.

Jag tror att du menar att tangenten till en reellvärd funktion av en variabel är en rät linje, och undrar om motsvarigheten för en reellvärd funktion av två variabler är ett plan. Svar ja, i alla fall kan det tolkas så under vissa omständigheter. 

Om du menar en funktion av två variabler så har den tangentplan i stället för tangentlinjer, ja.

Vad trevligt.

Lutningen man får av f'(något) beskrivs av enbart ett tal, som 2. Vad beskrivs då lutningen av planet, gradienten med? En normalvektor (x, y)?

Den beskrivs med vad som kallas för gradienten, en vektor med den partiella derivatan i $x$-led och den partiella derivatan $y$-led. Gradienten av en funktion $f(x,y)$ betecknas ofta med nablasymbolen, $\nabla f(x,y)$.

Exempelvis är gradienten av funktionen $f(x,y)=x^2+y^2$ lika med:

$\nabla f(x,y)=(2x,2y)$

Detta är dock inte riktigt en normalvektor till ytan, normalvektorn kräver faktiskt en $z$-komponent också. Normalvektorn till ytan ges nämligen av $(2x,2y,-1)$ eller $(-2x,-2y,1)$ beroende på om den pekar utåt eller inåt mot ytan.

Om du känner ett intresse av att lära dig detta lite mer grundligt, leta lite grann på nätet efter någon sida som lär ut flervariabelanalys. Sådana här saker är nämligen precis vad man sysslar med där.

Det borde komma ganska snart, om det är en matematiskt inriktad linje/program på universitetet.

Men AlvinB var kommer -1 och 1 från?

Ytterligare fundering: (x, y, 1) och (x, y, -1) är väl inte parallella oavsett x, y? 

Ännu en ytterligare fundering: I detta fall är de två vektorerna du skrev parallella eftersom skalärprodukten mellan de två är lika med 0. Ah

När du har gradientvektorn i en punkt $(a,b)$ kan du ju då skriva planets ekvation som:

$z=ax+by+c$

På normalform blir detta:

$ax+by-z+c=0$

alternativt

$-ax-by+z-c=0$

vilket ger normalvektorerna $(a,b,-1)$ och $(-a,-b,1)$ där $(a,b)$ är gradienten till $f$. Sätter vi in gradienten $(a,b)=(2x,2y)$ får vi då normalvektorerna $(2x,2y,-1)$ och $(-2x,-2y,1)$.

Du har rätt i att $(x,y,1)$ inte är parallell med $(x,y,-1)$, men det är ju inte det jag skriver. Notera att jag har minustecken framför de två första komponenterna när den tredje är negativ. Man kan gå mellan de två normalvektorerna genom att multiplicera med $-1$. De pekar alltså åt motsatt håll, den ena inåt från ytan och den andra utåt från ytan.

Ja, precis. Men jag trodde att man kallade (x, y, z) och (-x, -y, -z) parallella...

Jo, $(x,y,z)$ och $(-x,-y,-z)$ är parallella med varandra, och det är precis det vi använder oss av för att få två olika vektorer:

$-(2x,2y,-1)=(-2x,-2y,-(-1))=(-2x,-2y,1)$

Vad jag tror du missade när du skriver att $(x,y,1)$ inte är parallell med $(x,y,-1)$ är att i normalvektorn med positiv etta så har de första två komponenterna minustecken framför sig, vilket gör att vektorerna blir parallella med varandra.

Ja jo just precis, ja. Jag menade förresten $\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{b}=-\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|·\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|$