Plötslig fundering 2
Hej, jag och en vän tänkte på en sak, vi tror att denna fråga redan är löst och att vi inte är först. Vi vill ha namnet på detta problem.
Vi illustrerade en grupp personer med bokstäver (första i förnamnet) och sträck av olika längd mellan de som symboliserade hur nära relation de hade (2d). Ganska snabbt insåg vi att vissa fall inte gick att illustrera och andra som gick endast om man kunde använda en dimension till. Vi frågade oss om två personer med godtyckligt avstånd alltid är möjliga att sätta ut i två dimensioner, svaret är ja. Tre personer i två dimensioner, ja men inte alltid. Osv.. alla antal personer går i två demnsioner (och en) men inte för godtyckliga avstånd.
Finns det konfigurationer som inte kan sättas ut oavsett antal dimensioner?
En vi kom på är en triangel där ena sidan är längre än summan av de andra två: 3 pers, avstånden 1, 1 och 5. Går denna konfiguration att lägga ut givet fler dimensioner? Min gissning är nej.
Hur många dimensioner behövs för att kunna lägga ut n punkter med godtyckliga avstånd?
Ett perspektiv, eller tillvägagångssätt, jag hade var att tänka: första punkten läggs ut valfritt. När en ny punkt ska tilläggas ritar man cirklar kring befintliga punkter med radien av det önskade avståndet till punkten som ska läggas ut. Där alla cirklar skär kan den nya punkten läggas. Om alla cirklarna inte skär varandra i en punkt kan den nya pricken inte sättas ut. Detta måste bytas till sfärer i 3d men det är samma princip. I fler dimensioner blir det ndimensionella sfärer (som vi knappt vet hur vi hanterar). Detta innebär alltså att man "lägger ut" en och en.
Är antalet prickar man kan lägga ut beroende av ordningen i vilken de läggs ut? Om ja, hur går man tillväga för att så många som möjligt läggs ut?
Jag känner att denna fråga har mycket att göra med linjär algebra; det är egentligen massvis med ekvationsystem (dock inte linjära). Vi två är inte rutinerade flerdimensionstänkare. Avståndsformeln vet vi för alla dimensioner och koordinater lika så, men denna fråga var svår...
En vi kom på är en triangel där ena sidan är längre än summan av de andra två: 3 pers, avstånden 1, 1 och 5. Går denna konfiguration att lägga ut givet fler dimensioner? Min gissning är nej.
Jag håller med om din gissning:
Jag vill göra ett motsägelsebevis: Antag att man har tre punkter med de inbördes avstånden (t ex) 1, 1, 5 i n dimensioner. Man kan alltid hitta ett plan som går genom tre punkter, oavsett antalet dimensioner. Om det hade gått att placera ut punkterna med avstånden 1, 1, 5 i n dimensioner, skulle man ha fått en triangel i planet med sidorna 1, 1, 5. Detta äromöjligt enligt triangelolikheten. Alltså är antagandet att man kan placera ut de tre punkterna på önskat sätt felaktigt, och vi har bevisat att detta är omöjligt.
Hitta gärna fel i mitt resonemang, eller formuleringar som kunde göras mer stringenta.
Smaragdalena skrev:Man kan alltid hitta ett plan som går genom tre punkter, oavsett antalet dimensioner.
Är detta sant?
EDIT: ja, det... det ska vara sant, jag hsr inget bevis för det, men det känns sant. Om det är sant så är allt sant tycker jag
Man kan alltid hitta ett plan som går genom tre punkter, oavsett antalet dimensioner.
Det stämmer, om inte alla tre punkterna ligger på samma räta linje.
Smaragdalena skrev:Man kan alltid hitta ett plan som går genom tre punkter, oavsett antalet dimensioner.
Det stämmer, om inte alla tre punkterna ligger på samma räta linje.
Ja, då kan man hitta oändligt många plan, som kan genereras genom att snurra en rektangulär yta runt den linje som går genom punkterna.
