Plastiskt böjmotstånd: beräkning efter formel?

Hej! Jag har nu suttit i flera dagar för att förstå hur de löser det plastiska böjmotståndet (W[y.pl]) på ett I-tvärsnitt som är givet. Jag förstå inte vilken formel de utgår från, kan endast hitta en typ i i min formelbok och den säger mig ingenting.

Där står det att:

$Z = A_{c} + A_{t}$

är det plastiska böjmotståndet men det står sedan att för I-tvärsnitt används Z=A*e.

Och i lösningsförslaget löser de uppgiften såhär:

Detta ovan är tvärsnittet^

Här kommer beräkning av W(y.pl)

Jag fattar inte! Hur tänker de? Vad utgår de ifrån? Tack för hjälp.

Plastiskt böjmotstånd ges av:

$Z = A_c\cdot y_c + A_t \cdot y_t$

Varför

Så vitt jag förstår är det så att om tvärsnittet är fullplasticerat har du med elastisk-idealplastisk approximation $\sigma(y,z) = \sigma_s$ (alltså sträckgränsen) över hela tvärsnittet. Därmed har du en lika stor area av involverat material ovanför neutrallagret som under vilket ger upphov till ovan uttryck. Alltså synonymt med statiska momentet för tvärsnittet kring neutralaxeln.

I vårt fall har vi:

Per definition är $A_c = A_t=A/2$ och för vårt tvärsnitt har vi $y_c=y_t=\bar{y}$ vilket ger oss ett enklare uttryck när tvärsnittet är helsymmetriskt kring neutralaxeln:

$Z=A\cdot \bar{y}$

Du har att $\bar{y}$ är avståndet från neutralaxeln till övre och undre area-dels tyngdpunkt. Denna kräver lite beräkning men jag förmodar att du redan vet hur. Den blir:

$\displaystyle \bar{y} =\dfrac{\sum A_i \cdot y_i}{\sum A_i}=\dfrac{bt \cdot(h_w/2+t/2) + dh_w/2 \cdot h_w/4}{bt+h_wd/2}$

$\bar{y} = \dfrac{bt \cdot(h_w+t) + dh_w^2/4}{2bt+h_wd}$

Vi ser att totala arean $A=2bt+h_wd$ förkortas bort vid beräkning av plastiskt böjmotstånd och vi får:

$Z= bt \cdot(h_w+t) + d\cdot h_w^2/4$

Där livhöjden är $h_w = h-2t$ . Detta är exakt samma uttryck som de anger i ditt lösningförslag

Ebola skrev:
Plastiskt böjmotstånd ges av:

$Z = A_c\cdot y_c + A_t \cdot y_t$

Varför

Så vitt jag förstår är det så att om tvärsnittet är fullplasticerat har du med elastisk-idealplastisk approximation $\sigma(y,z) = \sigma_s$ (alltså sträckgränsen) över hela tvärsnittet. Därmed har du en lika stor area av involverat material ovanför neutrallagret som under vilket ger upphov till ovan uttryck. Alltså synonymt med statiska momentet för tvärsnittet kring neutralaxeln.

I vårt fall har vi:

Per definition är $A_c = A_t=A/2$ och för vårt tvärsnitt har vi $y_c=y_t=\bar{y}$ vilket ger oss ett enklare uttryck när tvärsnittet är helsymmetriskt kring neutralaxeln:

$Z=A\cdot \bar{y}$

Du har att $\bar{y}$ är avståndet från neutralaxeln till övre och undre area-dels tyngdpunkt. Denna kräver lite beräkning men jag förmodar att du redan vet hur. Den blir:

$\displaystyle \bar{y} =\dfrac{\sum A_i \cdot y_i}{\sum A_i}=\dfrac{bt \cdot(h_w/2+t/2) + dh_w/2 \cdot h_w/4}{bt+h_wd/2}$

$\bar{y} = \dfrac{bt \cdot(h_w+t) + dh_w^2/4}{2bt+h_wd}$

Vi ser att totala arean $A=2bt+h_wd$ förkortas bort vid beräkning av plastiskt böjmotstånd och vi får:

$Z= bt \cdot(h_w+t) + d\cdot h_w^2/4$

Där livhöjden är $h_w = h-2t$ . Detta är exakt samma uttryck som de anger i ditt lösningförslag

Wow tack för ditt fantastiska svar! Jag förstår nu hur jag ska göra, hoppas nu att jag kan använda kunskaperna på tentan. Tack!

Svara