Planets ekvation

Godkväll. Jag har en fråga kring följande uppgift nedan. Så det jag funderar på är hur skulle man en lösning för denna uppgift se ut? Jag har försökt ett bra tag på denna uppgift men har tyvärr inte kommit särskilt långt. Jag fösökte då analysera uppgiften och lösa den med att först beräkna kryssprodukten vilket jag har visat i den andra bilden nedan. Jag uppskattar all hjälp jag kan få. Tack Mvh

Hej!

Här är en lösningsskiss:

Det första du bör göra är att hitta två vektorer i planet. Till exempel $\overset{⇀}{A B}$ och $\overset{⇀}{A C}$ .

Därefter ta kryssprodukten av dessa för att få normalvektorn till planet.

Om $\overset{⇀}{n} = (a, b, c)$ . Så kan vi skriva planet på normalform som

$a x + b y + c z = d$ .

Lägger en lösning här ifall du fastnar igen!

Visa spoiler

Lösning till uppgiften

$\overset{⇀}{A B} = (- 1, 4, 1) \overset{⇀}{A C} = (4, 10, - 4)$

Kryssprodukten blir då

$\overset{⇀}{n} = (- 1, 4, 1) \times (4, 10, - 4) = (- 26, 0, - 26)$

Sätter vi in i planets ekvation får vi

$- 26 (x - x_{0}) + 0 (y - y_{0}) - 26 (z - z_{0}) = - 26 (x - x_{0}) - 26 (z - z_{0}) = 0$

Väljer vi en av punkterna och sätter in i ekvationen får vi

$- 26 (x - 1) - 26 (z - 0) = 0 - 26 x + 26 - 26 z = 0 x + z = 1$

Planet vi söker är alltså $x + z = 1$

Svara