plan genom punkter
Jag vill förstå lösningen till den här uppgiften, jag förstår allt tills vi får att A=-c/2 och b=- c/2 och att vi sen sätter in det i ekvationen men det här med att c elimineras föstår jag inte. Vet någon varför det blir 2?
Multiplicera båda sidor med .
D4NIEL skrev:Multiplicera båda sidor med .
Och härefter är ju vare sig a,b eller c intressanta eftersom ekvationen för planet dök upp.
Hur vet man vad man ska multiplcera med för att elimenera i sådana uppgifter?
Ett annat, som jag tycker, mer rättframt sätt att bestämma normalen till planet, (a,b,c) är ju vektorprodukt.
Låt v1 vara p2-p1
låt v2 vars p3-p1
normal = v1 kryss v2
plugga in i 4.1 . Klart.
Du vill förstå lösningen i boken. Jag orkar inte läsa den, utan berättar min lösning, take or leave.
tre punkter i planet, du kan lätt bilda två vektorer i planet:
(1, 2, 4)–(–2, 5, 4) = (3, –3, 0)
(1, 2, 4)–(–1, 0, 2) = (2, 2, 2)
Kryssprodukten mellan två vektorer är vinkelrät mot båda vektorerna:
(3, –3, 0)x(2, 2, 2) = (–6, –6, 12) = 6(–1, –1, 2)
så (–1, –1, 2) är en normalvektor till planet. Det innebär att
–x–y+2z = C är planets ekvation för något C.
Sätt in koordinaterna för någon punkt i planets ekvation för att bestämma C, tex (1, 2, 4):
–1–2+8 = 5 = C
Svar –x–y+2z = 5.
Kontroll: Jag kan ha räknat fel någonstans. Sätt in (–2, 5, 4) och (–1, 0, 2) i och se om de satisfierar ekv.
Jag kan förklara litet, men vill först se vad de andra skrivit.
Min lösning är precis som Analys föreslår.
Ja det verkar vara mycket lättare tack så jättemycket för eran hjälp :)
En lurighet är att man bildar vektorer som ”punkt – punkt”. Man kan inte addera eller subtrahera punkter. Men låt origo vara O och två punkter vara A resp B. När man säger A – B så menar man vektorn OA minus vektorn OB.
En annan fråga är varför (a, b, c) är normalvektor till planet ax+by+cz = C. Jag återkommer.
Forts: varför är (a, b, c) normalvektor till planet ax+by+cz = C?
Låt (p, q, r) och (s, t, u) vara två punkter i planet. Det betyder att (p–s, q–t, r–u) är en vektor i planet.
Bilda skalärprodukten mellan den vektorn och (a, b, c). Vi får
a(p–s)+b(q–t)+c(r–u) = (ap+bq+cr) – (as+bt+cu)
Men båda parenteserna är C eftersom båda punkterna satisfierar planets ekvation.
C–C = 0, dvs (a, b, c) är vinkelrät mot en godtycklig vektor i planet, dvs en normalvektor till planet.
Good luck!
Vad skulle ni säga är nackdelarna med att använda kryssprodukten, t,ex. när det gäller att generalisera till högre dimensioner?
D4NIEL skrev:Vad skulle ni säga är nackdelarna med att använda kryssprodukten, t,ex. när det gäller att generalisera till högre dimensioner?
Bra fråga!
Jag säger ingenting, för jag har sällan sprängt den tredimensionella ramen. Någon gång provade jag kryssprodukt i fyra dimensioner, bara på lek. Om jag minns rätt blev det besvärliga determinanter och inget jag rekommenderar för Rn.
I och för sig kan man väl ansätta ax+by+cz = K och stoppa in de tre givna punkternas koordinater. Ett vanligt hederligt ekvationssystem. Den metoden fungerar väl i hur många dimensioner som helst, men i tre dimensioner har vi genvägen med vektorprodukt?
Jadå, man kan använda för ett hyperplan i 4 dimensioner. Däremot kommer metoden med kryssprodukten inte fungera, något många studenter upptäcker först på tentan... :)
Vill man ändå använda en "utökad" kryssprodukt kan man studera det här utmärkta svaret
Sådana tentor är förbjudna i Genevekonventionen.
Och ytterligare en lösning är ju att beskriva planet på parameterform och eliminera s och t:
ta fram två vektorer i planet, v1 och v2 enligt ovan och beskriva planet med :
P = p1 + s*v1 + t*v2
nu, eiminera s och t och lösningen ax+by+cz+d återuppstår.
denna skulle jag använda för n>3
