Permutationsformel determinant

Den första termen blir väl.

sgn(id)a(1, 1)a(2, 2)a(3, 3)a(4, 4), där id är identitetselementet i S₄. Dvs id(m) = m, m = 1, 2,..., 4.

Vad blir sgn(id)?

Jag trodde att sgn(id) endast kunde vara 1 eller -1 eller noll beroende på matrisens egenskap och vet i detta fallet inte vilket av dem. 

Menar du att jag ska addera diagonalerna på ungefär detta sättet? Dock blir det fel svar då:( 

Vet du vad en permutation är? Vet du hur man beräknar tecknet sgn($\sigma$) för en permutation $\sigma$?

Det finns 24 permutationer i S₄ så du kommer att få 24 termer i din summa.

Mycket jobb att lösa uppgiften på detta sätt. Men bra övning på att beräkna tecken på permutationer .

Jag tror jag har lyckats få fram alla permutationer nu men vet tyvärr inte hur man beräknar tecknet med sgn. Beror det på permutationens värde eller är det något annat?

En permutation på M = {1, 2, 3, 4} är en bijektiv avbildning från M till M. Man kallar mängden av alla sådana permutationer för S₄. Jag antar att detta inte är helt obekant.

Vi kan tex definiera en permutation p enligt p(1) = 2, p(2) = 4, p(3) = 1, p(4) = 3. Vi kan kompakt skriva p som p = [2 4 1 3]. Dvs varje permutation kan identifieras med ett sätt att ordna talen 1 till 4 på en rad.

Inversioner. Om q är en permutation så säger vi att vi fått en inversion om i < j och q(j) < q(i).

Övning: hur många inversioner finns det i p ovan?

Om en permutation har ett jämnt antal inversioner så är tecknet sgn för permutationen 1 och om antalet inversioner är udda så är tecknet för permutationen -1.

Summan skall gå över alla (24) möjliga permutationer. Så det blir en hel del jobb att lösa den på detta sätt.

Om vi sätter id = [1 2 3 4] så är sgn(id) = 1 (antal inversioner = 0 = jämnt tal). Så första termen i summan, om vi börjar med $\sigma$ = id, vilket känns naturligt, är 1 x 1 x 2 x -2 x 0 = 0.

Så man får lista alla 24 permutationer och beräkna tecknet för varje och sedan ta fram den motsvarande termen i summan. Lite jobb, men man kan kanske snabbt se om en faktor i en term blir noll och då blir ju hela termen noll, så man kan skippa teckenberäkningen i dessa fall.

Lycka till.

En permutation byter tecken om man byter plats på två element.

Du kan helt enkelt räkna antalet omkastningar du måste göra för att nå den kanoniska formen $\{1,2,3,4\}$ genom att låta exakt två element byta plats upprepade gånger.

Exempel: Är permutationen $\{4, 3, 1, 2\}$ udda eller jämn?

$\{4,3,1,2\}$ ->$\{4,1,3,2\}$->$\{1,4,3,2\}$->$\{1,3,4,2\}$->$\{1,3,2,4\}$->$\{1,2,3,4\}$

5 omkastningar,  $\{4,3,1,2\}$ är en udda permutation, tecknet ska vara negativt.

Alltså ska termen $a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}$ föregås av ett negativt tecken i summan för determinanten.