Permutationer eller kombinationer?

Jag håller med om det du säger, permutationer är med och kombinationer är utan upprepning. Så säger man om det inte är återläggning (upprepning). Men jag minns inte att jag hört termerna permutationer och kombinationer när det handlar om återläggning.

Det kan vara så. Hur gör man när det är återläggning? Det kanske handlar om sannolikhet då

Tänk dig att du ska plocka ut $k$ tal med repetition/återläggning av talen $1,2,\dots,n$. Ordningen spelar ingen roll, så det enda som skiljer ett val från ett annat är hur många vi fått av varje tal: antalet 1:or, antalet 2:or, antalet 3:or, etc. som ditt val består av. Summan av dessa antal är lika med $k$.

Observera också att $k$ faktiskt kan vara större än $n$, eftersom vi gör valet med återläggning/repetition.

Skriv upp $k$ st streck, ett för varje tal du plockar ut (och lägger tillbaka): |||||...|||.

Placera nu ut $n-1$ stjärnor mellan strecken. T.ex. för $k=6$ och $n=4$ kanske vi får

|||**||*|

Detta motsvarar att vi valt tre st 1:or, noll st 2:or, två st 3:or, och en 4:a. Tillsammans $3+0+2+1=6$ objekt. Antalet streck före första stjärnan mosvarar antalet 1:or. Antalet steck mellan första och andra stjärnan motsvarar antalet 2:or. Antalet streck mellan andra och tredje stjärnan motsvarar antalet 3:or, och så vidare. Vi har översatt ett val av $k$ objekt med repetition ur en mängd på $n$ objekt till att motsvara en sekvens av streck och stjärnor.

Ett annat exempel när $k=5$ och $n=7$:

*|**|*||*|*

Detta motsvarar att vi valt 2,4,5,5,6 ur $\{1,2,3,4,5,6,7\}$.

Vi frågar oss nu hur många olika sekvenser av $k$ streck och $n-1$ stjärnor vi kan konstruera. Vi har total $n+k-1$ streck och stjärnor tillsammans som kan placeras på $(n+k-1)!$ olika sätt, men $k$ objekt är av samma typ (streck), och $n-1$ objekt är av en annan typ (stjärnor), så vi måste dela med $k!$ och $(n-1)!$ för att inte räkna samma sekvenser flera gånger. Vi får alltså

$\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \binom{n+k-1}{k}$.

Detta är alltså antalet sätt vi kan välja $k$ objekt med repetition ur en mängd på $n$ objekt.

Vi kan kontrollera att formeln stämmer för $k=2$ och $n=3$. Vi kan i detta fall skriva upp alla möjligheter:

1,1 eller ||**

1,2 eller |*|*

1,3 eller |**|

2,2 eller *||*

2,3 eller *|*|

3,3 eller **||

Och mycket riktigt fås att

$\binom{3+2-1}{2}=\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{4}=6.$

L123 skrev:

Det kan vara så. Hur gör man när det är återläggning? Det kanske handlar om sannolikhet då

Kombinatoriken handlar om frågan ”på hur många sätt?”

Vi kan använda kombinatoriken för att besvara frågan ”vad är sannolikheten?”

Så kombinatorik handlar inte om sannolikhet. 

Gustor gjorde en presentation av fallet välja k av n med återläggning utan hänsyn till ordning. ”Ordningen spelar ju ingen roll” skrev du, men det kan den såklart göra. Det finns fyra typfall.

Som övning kan man sätta in de följande på rätt plats

A:(n+k–1 över k)  
B: (n över k)
C:  n(n–1)(n–2) … (n–k+1),   dvs n!/k!

D:  n^k

                          Med hänsyn till ordn.             Utan hänsyn till ordn. 

Med återl.                              ?                                        ??                                

Utan återl.                            ???                                    ????

Tillägg: 14 feb 2025 13:58

Felskrivet i tabellen, ska vara

C:  n(n–1)(n–2) … (n–k+1),   dvs n!/(n–k)!