Permutationer

För en permutation med disnjunkta cykler man man behandla cyklerna var för sig.

Kan du finna permutationerna a ,b,c som löser ekvationerna

a^2 = (153)

b^2 = (279)

c^2 = (684)

och därefter använda dem för att bestämma x?

Kan det exempelvis vara:

a=(135)

b=(972)

c=(864)?

Yep. Sätter du sedan ihop dessa så får du 

x = abc = (135)(972)(864)

kontroll: https://www.wolframalpha.com/input/?i=perm+%28%28135%29%28972%29%28864%29%29%5E2 

okej så man kastar helt enkelt bara om  ordningen 

Jag har inte så mycket erfarenhet med permutationsekvationer så kan inte säga definitivt vad som gäller allmänt.

Har ekvationen x^2 = (1234) exempelvis någon lösning? Jag tror inte det... Så alla är inte lösbara? (eller så missar jag nbågot)

Har ekvationen x^2 = (12345) någon lösning? Jo x = (14253) ... Fast kan dessa ekvationer ha fler än en lösning?

Jag vet inte vad villkoren eller algoritmerna är här.

Permutationsekvationen x^2=(1234) saknar lösning. Ett sätt att se på det är att koda varje permutation som en reell matris ( permutationen som skickar i på j ser vi som en linjär avbildning som skickar e_i på e_j). Sammansättning av permutationer motsvarar multiplikation av matriser.

Då ser vi att (1234) motsvarar en matris med determinant -1. Då finns det ingen matris reell X så att X^2=(1234) (eftersom det skulle kräva att det X=+-i).

Man kan också tolka det på flera andra sätt, negativ determinant motsvarar att det krävs ett udda antal "enkla" permutationer på formen (ab) för att bygga upp vår permutation exempelvis.

hej, är problemet att hitta en lösning eller alla? Det finns flera nämligen.

Tänk på att om C = (a1 a2 a3 ... ak) är en cykel av längd k, så blir C^m en sammansättning av gcd(m,k) cykler som är lika långa.

Man skulle hitta en lösning. Men jag har forfarande inte förstått hur man löser rötter av permutationer och jag hittar heller ingen information om sådana problem :/

Exempel hur löser man följande ekvation: $x^2=\left(13524\right)$

Finns det nån formel eller algoritm?

aha om du bara behöver hitta en lösning så  är det en bra idé att lösa cykel för cykel som du gjorde innan (i alla fall om cyklerna har udda längd, är de jämna så blir du tvungen att slå ihop cykler).

Du hittade ju lösningen till (153), (279), och (684), så uppenbarligen har du någon slags metod, går det att generalisera den?

Annars kan jag rekommendera att undersöka hur $x^{2^{}}$beter sig för en massa olika cykler, för att få intuition om hur man inverterar:

(12)² = (1)(2)

(123)² = (132)

(1234)² = (13)(24)

(12345)² = (13524)

(123456)² = (135)(246)

Men det kanske var exakt så du fick fram exemplet x² = (13524) ?

(123456789)² = (135792468)  <------  Som du ser hamnar elementen på udda positioner först, och sen de jämna. Kan du göra samma sak fast baklänges för att lösa x² = (12345)?

Går det inte bra att börja med (a b c d e), kvadrera den, vilket blir (a c e b d) och sedan byta ut bokstäverna mot siffror så att det stämmer?

Jag testade  (a b c d e) metoden och jag tor den funkar.

$$\begin{gathered} x^2=\left(12345\right) \\ ( a b c d e) = (a c e b d) \\ a=1 \\ b=4 \\ c=2 \\ d=5 \\ e=3 \\ så x=\left(14253\right) \end{gathered}$$

Men nu undrar jag varför $x^2=\left(1234\right)$ saknar lösning. Är det för att den är udda?

$$\begin{gathered} om x^2=\left(1234\right) så är x=\left(13\right)\left(24\right). Vi får då två udda permutationer. \\ Vi sätter U=Udda och J=Jämna \\ \left(13\right)\left(24\right)·\left(13\right)\left(24\right)= \left(1234\right) \\ (U·U)·(U·U)=U \\ J·J=U \\ J\ne U \end{gathered}$$

Har jag tänkt rätt? isåfall saknar alla udda permutationer rötter?

Menar du udda som i "pariteten på antalet inversioner"? I så fall tror jag inte det kommer spela in här, det enda som spelar roll är hur cykeluppdelningen ser ut.

Låt oss undersöka x² = (1234). Om man kvadrerar en permutation så kan cyklerna antingen behålla sin längd, eller så kan de splittas upp. Vi kan alltså inte få färre cykler av att kvadrera. Så enda sättet att få (1234) är om x också är en enda cykel x = (abcd).

Men då blir x² = (ac)(bd), vilket är en motsägelse. Men om vi däremot har till exempel två cykler

x² = (1357)(2468)

så kan vi "fläta ihop" dem till en cykel av längd 8

x = (12345678)

Generellt kommer det funka om och endast om vi har ett jämnt antal av alla jämna cykellängder, för då kan vi para ihop dem så här.

ja okej men då tror jag att jag har fattat