Permutationer

Beräkna antalet permutationer av cykeltyp $[2^{2}, 4]$ . Om vi placerar ut talen 1,2,...,8 i

$(\cdot \cdot) (\cdot \cdot) (\cdot \cdot \cdot \cdot)$

Det finns 8! sätt att göra detta på. Men eftersom cyklerna exempelvis (1234)=(4123)=(3412)=(2341) dividerar vi med 4. Och på samma sätt så är exempelvis (78)=(87) och vi har två stycken 2-cykler så vi dividerar med 2*2. Dessutom eftersom (56)(78)=(78)(56) så dividerar vi även med 2!. Vi får alltså

$\frac{8!}{4 * 2 * 2 * 2!} = 1260$

Det jag inte riktigt förstår är att man dividerar med 2! med motivering att (ab)(cd)=(cd)(ab). För då bör det väl även gälla att (ab)(cd)(efgh)=(efgh)(ab)(cd)=...=(ab)(efgh)(cd)? Och det tar man ju inte hänsyn till.

Exempelvis om man vill beräkna antalet permutationer av cykeltyp [2,5] som räknar man

$\frac{7!}{5 * 2} = 540$

Dvs man tänker inte att exempelvis (ab)(cdefg)= (cdefg)(ab) och därför dividerar med 2! så varför gör man det i första uppgiften?

Det är för att exempelvis

$(12)(34)(5678)$

är samma permutation som

$(34)(12)(5678)$

På förhand bestämmer vi att de kortaste cyklerna kommer först och placerar ut de åtta siffrorna. Det gör att vi inte dubbelräknar permutationer i onödan. Men vi kan ju inte skilja två cykler av samma längd, därför måste vi ta hänsyn till detta.

Hade sifferföljden blivit

$56781234$ finns det ingen poäng att placera en fyracykel först. Den permutationen har vi redan tagit med.

Svara