Permutationer
Hej! Försöker lösa denna uppgift:
Jag förstår att permutationen inte blir P(9, 9) eftersom det finns två a och två n och "orden" ska vara unika, men förstår inte hur lösningen blir på detta sätt?
Tack på förhand!
Jag besvarar frågan genom att skapa ett mindre exempel som är litet nog att jag kan skriva ut alla permutationer i det här svarsfältet utan att behöva slita håret:
Hur många permutationer kan man få med hjälp av bokstäverna i ordet "tenn".
Detta innehåller två identiska tecken, så låt oss därmed börja med att anta att det är olika tecken (n och ñ) och rabbla upp alla permutationer:
teñn
tenñ
tñen
tneñ
tñne
tnñe
etñn
etnñ
ñten
nteñ
ñtne
ntñe
eñtn
entñ
ñetn
netñ
ñnte
nñte
eñnt
enñt
ñent
neñt
ñnet
nñet
Detta blir ju 4! eller 24 kombinationer. Räknar vi på detta vis så har vi dock förutsatt att de två n:en kan betraktas som olika tecken, och så är ju inte fallet. Då kommer förstås frågan vilka kombinationer som vi satt som olika ovan blir identiska då vi tar bort tilde-tecknet ~.
Det man då gör är att betrakta en skapad permutation (t.ex. tenn) och frågar sig på hur många vis som man kan bilda just denna permutation genom att kasta om de tecken som vi i verkligheten ska betrakta identiska. De två n:en kan placeras på 2! vis i denna permutationen, så vi har fått 2! gånger så många permutationer som vi borde ha fått. Så är fallet för alla permutationer.
teñn
tenñ
tñen
tneñ
tñne
tnñe
etñn
etnñ
ñten
nteñ
ñtne
ntñe
eñtn
entñ
ñetn
netñ
ñnte
nñte
eñnt
enñt
ñent
neñt
ñnet
nñet
Skulle jag göra på samma vis med bokstäverna i ordet "stekpanna" skulle jag först omvandla det till "ordet" stekpanñå och rabbla upp alla permutationer. Detta är dock lite väl mycket så vi nöjer oss med några permutationer som i det nya ordet blir olika men som i det faktiska ordet blir lika:
stekpanñå
stekpånña
stekpañnå
stekpåñna
tsekpanñå
tsekpånña
tsekpañnå
tsekpåñna
etc.
Varje permutation uträknad på fejkordet har då ytterligare 2!*2! permutationer som om vi omvandlar bokstäverna till det riktiga ordets bokstäver kommer vi få fram att permutationerna var lika, så vi får 2!*2! gånger så många lösningar som vi borde ha fått. Därför måste vi dividera med 2!*2!.
stekpanñå
stekpånña
stekpañnå
stekpåñna
tsekpanñå
tsekpånña
tsekpañnå
tsekpåñna
etc.
Detta fungerar eftersom två bokstäver "överlappar" dvs det finns 2 stycken a och 2 stycken b. Man hade kunnat byta plats på dessa bokstäver och ändå få samma ord:
"stekpanna" nu byt plats på n:en och a:en. Du får samma ord, eller hur?
Vi kan skriva stekpanna som:
s1t1e1k1p1a1n1n2a2
Notera att det finns n2 och a2 då dividerar man 2! *2! för att "jämna ut" antalet permutationer som är likadana. 2! * 2! eftersom det finns två bokstäver som repeterar sig själva.
Samma gäller om du har ordet "stekpannan", hur många permutationer har ordet då, om du följer samma metod?
Tack då förstår jag!
