permutation i S7
Hej!
jag arbetar med följande tal
Bestäm antalet permutationer S7 sådan att (1)1.
Jag tänkte att det skulle vara lika med alla permutationer som inte har en 1-cykel alltså [22 3], [3 4], [2 5] och [7].
men i facit står det att 7!-6! där 7! är alla permutationer i S7 och 6! är alla permutationer där π(1)=1. Det som jag inte förstår är hur kommer det sig att 6! är alla permutationer som har π(1) = 1 i S7 .
uppskattar all hjälp.
Om det finns en 1-cykel behöver det inte vara sant att 1 avbildas på 1.
Att permutera sju element och låta 1 vara kvar på sin plats kan du se som att permutera de övriga sex elementen.
Ditt sätt räknar bort alla permus som fixerar något element, inte bara de som fixerar just 1.
Vi tänker oss två mängder dels mängden {2,3,4,5,6,7} , dels mängden {1,2,3,4,5,6,7}.
Tänk dig nu en godtycklig permu av den första mängden, tex
234567 -> 724536
Sätt en etta framför båda:
1234567 -> 1724536.
På det sätter motsvarar varje permu av en mängd med 6 element en permu av an mängd med 7 element där ett fixerats.
Omvänt titta på en permu av en mängd med 7 element där 1an fixerats
1234567 -> 1572463
Ta bort ettan i början
234567-> 572463
På det sättet motsvarar varje permu av emängd med 7 element där ett visst element fixerats av en permu av en mängd med 6 element.
Det jag lite informellt visat här är att det finns en injektiv funktion från permutationer på en mängd med sex element till permutationer på en mängd med sju element sådana att ett visst element fixersts.
Sedan visar vi samma sak i andra riktningen också. Slutsatsen är att det finns en bijektion från mängden permus på en mängd med 6 element till mängden av permus på en mängd med 7 element sådana att ett visst element fixeras. Och finns en bijektion så är mängderna lika stora.
