Pendelkulans svängning grafiskt

Prova!

Kan det här vara det rätta (alternativa) tillvägagångssättet för att beräkna hastigheten? Den skiljer sig dock med 0,5 % vilket kan bero på vinkeln. 

En liten fråga: Du sätter periodtiden till 1, men är den inte 0.5?

ThomasN skrev:

En liten fråga: Du sätter periodtiden till 1, men är den inte 0.5?

Nej. Figuren visar kraften, inte vinkeln.

Ahh just det, jag gick i fällan!

0,5% är försumbart när man har läst av värdena från grafen.

Det kan också bero på vilket värde på g som är det rätta. Det varierar över jordklotet.

Okej, men jag har funderat på en sak. Borde inte den största hastigheten inträffa när F=1,1 N när vikten är i sitt lägsta läge och spännkraften i tråden är störst, det sker ju vid tiden 0,7 s. 

Då omvandlas ju pendelns lägesenergi till rörelseenergi. Men enligt formeln för harmonisk rörelse får man att den största hastigheten inträffar vid 0,5 s (största positiva hastighet) samt 0 s (största negativa hastighet) + ett helt antal perioder dvs 1s. 

0,5 s är verkar ju vara då pendelns läge är halvvägs mellan det översta och nedersta läget? Är accelerationen 0 m/s^2 då med tanke på att kraften varierar mellan 0,9 N och 1,1 N? 

Tolkas den maximala hastigheten olika beroende på om man tillämpar energiprincipen eller harmonisk svängningsrörelse? 

Partykoalan skrev:
Men enligt formeln för harmonisk rörelse får man att den största hastigheten inträffar vid 0,5 s (största positiva hastighet) samt 0 s (största negativa hastighet) + ett helt antal perioder dvs 1s.  

Vilken formel?

Man kan alltid lägga till en fasfaktor $\theta = A \sin(\omega t + \phi).$

Jag tänker att för att beräkna den maximala hastigheten så likställer man lägesfunktionen med noll precis som man likställer accelerationen med noll för att beräkna den maximala hastigheten. Då får man tiderna när accelerationen är noll som man kan stoppa in i hastighetsfunktionen. 

Tiderna jag får när jag likställer lägesfunktionen med 0 är 0,5 s och 1 s. Cosinusfunktionen ger då sitt maximala värde dvs. 1. Är accelerationen 0 m/s^2 vid 0,5 s  respektive 1 s? 

Partykoalan skrev:

Tiderna jag får när jag likställer lägesfunktionen med 0 är 0,5 s och 1 s.  

Men det är inte då som den här pendeln är i sitt lägsta punkt.

Vad heter fysikboken?

Precis, pendeln är inte i sitt lägsta punkt där, men funktionen visar att vid dessa punkter så har pendeln den högsta hastigheten ( vilket förvånansvärt överränsstämmer med energiprincipen jag använde tidigare).

Vid tiden 0,7 s är pendeln i sitt nedersta läge, så varför visar cosinusfunktion att Vmax är vid 0 s (positiv) respektive 0,5s (negativ)?  

Boken heter fysik impuls 2

Partykoalan skrev:

Precis, pendeln är inte i sitt lägsta punkt där, men funktionen visar att vid dessa punkter så har pendeln den högsta hastigheten ( vilket förvånansvärt överränsstämmer med energiprincipen jag använde tidigare).

Vid tiden 0,7 s är pendeln i sitt nedersta läge, så varför visar cosinusfunktion att Vmax är vid 0 s (positiv) respektive 0,5s (negativ)?   

En pendel har sin högsta hastighet i sitt nederste läge, där är kraften störst (det är vad man känner med rumpan på en gunga). Och i den här figuren är det vid 0,2 s (hastigheten kanske framåt), vid 0,7 s (hastighet åt andra hållet), osv.

Okej, skulle du kunna visa var i min funktion jag gjort fel?  Allting verkar ju stämma? Enligt formeln för harmonisk svängningsrörelse så är Vmax när accelerationen är noll, och här verkar ju 1 N vara något slags jämviktsläge/jämviktskraft som pendeln svänger mot enligt formeln för den harmoniska svängningsrörelsen. Jag får ju att hastigheten är likadan som vid energiprincipen? 

I det nedersta läget är elongationen noll, därför satte jag uttrycket y=Asin(wt)=0 för att få reda på vid vilka tidpunkter elongationen från jämviktsläget är noll (i radianer). Då är hastigheten störst och dessa värden satte jag in i formeln för hastighet (vinkelhastighet). 

I det nedersta läget är snörets dragspänning 1,1 newton. Det är 0,1 newton mer än tyngden. Det är lika med mv²/r och det är sättet för att räkna ut hastigheten i b).

Jag har redan använt principen för centripetalkraft och hastigheten har jag beräknat på det sättet. Den blir 0,54 m/s.

Min fråga är varför jag får att elongationen (i radianer) är noll vid 0s respektive 0,5 s när det i grafen visas att 1.1 N är nedersta läget? 1,1 N är ju vid 0,7s och tolkas som jämviktsläge. Jag får att hastigheten är likadan men tiderna stämmer inte riktigt. Grafen kanske inte tolkas likadant när man räknar ut hastighet mha harmonisk svängningsrörelse? 

Partykoalan skrev:

Min fråga är varför jag får att elongationen (i radianer) är noll vid 0s respektive 0,5 s när det i grafen visas att 1.1 N är nedersta läget?  

Jag vet inte. Dina uträkningar saknar text. Någonstans har du väl gjort ett oredovisat antagande.

(Kunskapskraven vill se välutvecklade resonemang. Det betyder att det behövs resonemang med ord.)

Okej, det här är ekvationer jag skapat för harmonisk svängningsrörelse: Elongationen anges i radianer från jämviktsläget (som jag antar är i nedersta läget i pendelns oscillation). 

Vinkelhastigheten anges i omega (rad/s) och accelerationen har jag angett som alfa här (rad/s^2). Den maximala vinkeln från jämviktsläget är beräknad till 20° (som i radianer är 0,348 rad/s). Pendelns längd är 0,249 m.

Amplituden motsvarar alltså den maximala förflyttningen från jämviktsläget i radianer (theta max)

Hastigheten är maximal när elongationen är noll. Därför sätter jag y=0 och får då att Vmax är vid 0 resp. 0,5 s ( -Vmax). 

Dessa tider sätts in i ekvationen för hastighet för att beräkna Vmax som blir cirka 2,19 rad/s eller 0,54 s enligt v=wr 

Partykoalan skrev:

Okej, det här är ekvationer jag skapat för harmonisk svängningsrörelse: Elongationen anges i radianer från jämviktsläget (som jag antar är i nedersta läget i pendelns oscillation). 

Vinkelhastigheten anges i omega (rad/s) och accelerationen har jag angett som alfa här (rad/s^2). Den maximala vinkeln från jämviktsläget är beräknad till 20° (som i radianer är 0,348 rad/s). Pendelns längd är 0,249 m.

Amplituden motsvarar alltså den maximala förflyttningen från jämviktsläget i radianer (theta max)

Hastigheten är maximal när elongationen är noll. Därför sätter jag y=0 och får då att Vmax är vid 0 resp. 0,5 s ( -Vmax). 

 

Men det är ju inte konsistent.

Om du skriver $\theta(t) = \theta_{\rm max} \sin \omega t$ har du ju jämviktsläge vid t=0 osv.

Men nedersta läget är när kraften är maximal, vid 0,2 s osv.

Och det är det som gör mig förvirrad. Jämviktsläget fick jag vid t=0s respektive 0,5s med perioden 1s. Men tittar man på grafen går det inte ihop.

Därför blev jag fundersam. Men jag fick ju ändå att den maximala hastigheten är likadan som när jag använde centripetalkraften, dvs 0,54 m/s. Den blev alltså maximal vid 0 s och minimal vod 0,5 s.

Menar du alltså att ekvationen för jämviktsläge inte kan användas som lösningsmetod för en sådan uppgift trots att det handlar om en matematisk pendel? 

Som jag sa, du behöver en fasvinkel för att matcha tidsberoendet med grafen.

Skulle den fasvinkeln kunna vara 90° eller p/2?

Det ser mer ut som π/4. Men det är bara att skissa $\theta(t)$ på samma tidsaxel.

Menar du att jag bara subtraherar med p/4 i sinusfunktionen och räknar för y=0? Därefter så stoppar jag in värdena i hastighetsfunktionen? 

Eller så ser det snarare ut som en cosinusfunktion som blivit förskjuten med p/4 i x-led för elongationen, men det kanske inte har en betydelse? 

Du kan hitta lösningsförslag till din uppgift här : https://jorjani.weebly.com/fysik-2.html

Partykoalan skrev:

Eller så ser det snarare ut som en cosinusfunktion som blivit förskjuten med p/4 i x-led för elongationen, men det kanske inte har en betydelse? 

Matematiskt finns olika möjligheter eftersom rörelseriktningen i nedersta läget kan vara framåt eller bakåt. Det spelar ingen roll för svaret på frågorna.

m83_11 skrev:

Tack, men jag har redan löst hastigheten på det sättet. Jag försöker lösa den genom att tillämpa formeln för harmonisk svängningsrörelse. 

Pieter Kuiper skrev:

Partykoalan skrev:

Eller så ser det snarare ut som en cosinusfunktion som blivit förskjuten med p/4 i x-led för elongationen, men det kanske inte har en betydelse? 

Matematiskt finns olika möjligheter eftersom rörelseriktningen i nedersta läget kan vara framåt eller bakåt. Det spelar ingen roll för svaret på frågorna.

Okej, nu har jag skapat nya funktioner för harmonisk svängningsrörelse med fasvinkeln p/4. Och vinkelhastigheten som funktion av tiden w(t) är inte samma sak som vinkelfrekvensen (angular frequency) w som är konstant 6,28 rad/s.

Lägesfunktionen likställer jag med noll för att få reda på den maximala hastigheten. Då får jag även den minimala hastigheten, dvs hastigheten åt andra hållet.

Maximala hastigheten inträffar vid 0,125 s och minimala hastigheten inträffar vid 0,625 s vilket stämmer överens med grafen. Vmax blir då 0,54 m/s precis som tidigare. Ser det här bättre ut? 

Partykoalan skrev:

Okej, nu har jag skapat nya funktioner för harmonisk svängningsrörelse med fasvinkeln p/4. Och vinkelhastigheten som funktion av tiden w(t) är inte samma sak som vinkelfrekvensen (angular frequency) w som är konstant 6,28 rad/s.

Det blir förvirrande, det blir mycket tydligare om du skriver $\dot{\rm{\theta}}.$

Och kanske några grafer på samma tidsaxel. Varför inte??

Pieter Kuiper skrev:

Partykoalan skrev:

Okej, nu har jag skapat nya funktioner för harmonisk svängningsrörelse med fasvinkeln p/4. Och vinkelhastigheten som funktion av tiden w(t) är inte samma sak som vinkelfrekvensen (angular frequency) w som är konstant 6,28 rad/s.

Det blir förvirrande, det blir mycket tydligare om du skriver $\dot{\rm{\theta}}.$

Och kanske några grafer på samma tidsaxel. Varför inte??

Jag förstår att det kan vara förvirrande litegrann, men jag utgick från den allmänna formeln enligt bilden nedan. 

Såhär ser funktionerna ut när man knappar in dem på räknaren. Funktionen med liten amplitud är lägesfunktionen och funktionen med stor amplitud är hastighetsfunktionen. 

Söker man maximivärde för hastighetsfunktionen 2,189cos(6,28t-p/4) så visar grafen 2,189 rad/s vilket blir 0,54 m/s enligt v=wr och r är ju längden på pendeln, alltså 0,249 m.

Maximivärdet på hastighetsfunktionen inträffar vid 0,125s precis som jag räknat ut det, vilket också stämmer med grafen i boken som då visar 1,1 N. Ser det korrekt ut? 

Det finns ju bättre verktyg för att rita. Väldigt tillgängligt (men lite begränsat) är Google. Den ger i alla fal en axel med (här) tid. Och färger.
https://www.google.com/search?q=y%3D0.348*sin%286.28*x+%2B+pi%2F4%29%2C+y%3D0.5*cos%286.28*x+%2B+pi%2F4%29%2C+y%3D1.1-0.2*%28cos%286.28*x+%2B+pi%2F4%29%29%5E2 

Självklart, men jag använde grafritaren. Skulle du kunna säga varför du använde 0,5cos(6,28x+pi/4) när hastighetsfunktionen är 2,189×cos(6,28x+pi/4)? 

Partykoalan skrev:

Självklart, men jag använde grafritaren. Skulle du kunna säga varför du använde 0,5cos(6,28x+pi/4) när hastighetsfunktionen är 2,189×cos(6,28x+pi/4)? 

Det enda som är viktig för fasvinkeln är tidsberoendet. Vertikal axel är i arbitrary units för att få en bra figur.

Okej, och jag antar att det inte spelar någon roll om fasvinkeln förflyttas till höger på tidsaxeln (-pi/4) eller till vänster som du skrev (+pi/4) sålänge tiden stämmer, alltså 0,125 s? 

Grafen som du ritat visar alltså att vid tiden 0,125 s så når grafen 1,1 N (den gula grafen) vilket är jämviktsläget, men borde inte den blå grafen visa att förflyttningen då är 0 radianer istället för 0,348 radianer? 

Partykoalan skrev:

Okej, och jag antar att det inte spelar någon roll om fasvinkeln förflyttas till höger på tidsaxeln (-pi/4) eller till vänster som du skrev (+pi/4) sålänge tiden stämmer, alltså 0,125 s? 

Grafen som du ritat visar alltså att vid tiden 0,125 s så når grafen 1,1 N (den gula grafen) vilket är jämviktsläget, men borde inte den blå grafen visa att förflyttningen då är 0 radianer istället för 0,348 radianer? 

Ok, jag hade gjort fel, ser jag. Meningen var mest att visa hur man kan rita bättre än en TI-84. 

Du kan lätt redigera den url som jag gav så att det blir rätt.
 

Kan det här vara en lämplig graf? Den röda grafen visar kraften vid tiden 0,125s; (0,125, 1,1)

Grön graf visar läget vid 0,125s; (0,125, 0)

Blå graf visar hastigheten vid 0,125s; (0,125, 2,189)

Nej, kraften beror på hastigheten i kvadrat.

Okej, nu har jag åtgärdat det. 

Ser det korrekt ut? 

Partykoalan skrev:

Okej, nu har åtgärdat det. 

Ser det korrekt ut? 

Jo, i princip. Bara att kraften inte går ner till 0,9 newton.

Gör den inte det? Enligt bokens graf verkar den göra det? 

Partykoalan skrev:

Gör den inte det? Enligt bokens graf verkar den göra det? 

Javisst. Men inte i din figur.

Pieter Kuiper skrev:

Partykoalan skrev:

Gör den inte det? Enligt bokens graf verkar den göra det? 

Javisst. Men inte i din figur.

Just det, hur fixar jag så att den går igenom 1 N på y-axeln och går ända ner till 0,9 N? 

Finally, det här borde duga.

Skulle du kunna tala om sambandet du använde mellan kraft och hastighet. Vilket samband utgick du från att rita kraftfunktionen? Du sa att kraften beror på hastighet i kvadrat.  

Partykoalan skrev:

Vilket samband utgick du från att rita kraftfunktionen? Du sa att kraften beror på hastighet i kvadrat.  

Jag ritade bara det som jag såg.

Sedan vet vi ju att centripetalkraften är mv²/r.

Skulle du kunna utveckla? Jag förstår att centripetalkraften är relaterad till grafen men utgick du från den formeln (mv^2/r) när du skapade kraftgrafen? Vad föreställer hastigheten, massan och radien i 1,1-0,2cos^2(6,28t+pi/4)? 

6,28 är vinkelfrekvensen, pi/4 är fasförskjutningen, men varför kvadreras cosinusfunktionen och hur är den relaterad till hastigheten? 

Partykoalan skrev:

Skulle du kunna utveckla? Jag förstår att centripetalkraften är relaterad till grafen men utgick du från den formeln (mv^2/r) när du skapade kraftgrafen? Vad föreställer hastigheten, massan och radien i 1,1-0,2cos^2(6,28t+pi/4)? 

6,28 är vinkelfrekvensen, pi/4 är fasförskjutningen, men varför kvadreras cosinusfunktionen och hur är den relaterad till hastigheten? 

Så jag räknade inte massa osv. Jag fixade bara en kraftkurva som varierade mellan 0,9 N och 1,1 N så att det stämde.

Du försöker bena ut den här uppgiften mycket mer än vad som var meningen enligt facit. Men att centripetalkraften beror på hastighetskurvan i kvadrat, det har väl varit en grundläggande idé för uppgiftens konstruktör.

Okej, försöker bara förstå varför cosinusfunktionen kvadrerades när du skapade kraftfuntionen, därför att min kraftfunktion inte riktigt stämde med bokens funktion. 

Försökte ju också skapa en liknande graf som varierar från 0,9 till 1,1  utan att kvadrera. 

Partykoalan skrev:

 Försökte ju också skapa en liknande graf som varierar från 0,9 till 1,1  utan att kvadrera. 

Kvadrering behövs för att kraftkurvans period ska bli halvt så lång som pendelns period.

Okej, nu greppar jag det. Du syftar alltså på den gröna lägesfunktionen. Utan kvadrering så blir den röda kraftfunktionens period samma som lägesfunktionens period. 

Bara en heads-up. Vinkelutslaget på den här pendeln är stort. För pendlar med väldigt små vinkelutslag kan du approximera utslaget i vinkel (radianer) med ($\theta \ll 1$ och $\sin(\theta)\approx \theta$ )

$\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0$

Vilket är en harmonisk oscillator med vinkelfrekvensen $\omega = \sqrt {\frac{g}{l}}$.

Du kan också efterlikna grafen du fått given, men då är det inte lika självklart vad "utslaget" är jämfört med den underliggande fysiken. Klart är att spänningen i tråden alltid ges av

$S(t)=\displaystyle mg\left(3\cos(\theta\left(t\right))-2\cos(\theta_0)\right)$ där $\theta_0$ är maxutslag.

Edit: Här är en lite mer realistisk plot

$S=g m \left(3 \cos \left(\theta \left(t+\frac{39}{64}\right)\right)-2 \cos (\theta_0)\right)$

$\theta\left(t\right) = \theta_0\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$ Harmonisk approximation