Pelle öppnar ett bankkonto

Hej och välkommen till pluggakuten!

Blir det inte y_n+1=1.05y_n+200?

Månadsräntan är ju (1+0.06/12). Dvs: 0.5%.

Edit: jag som inte kan räkna på morgonen

Randyyy skrev:

Hej och välkommen till pluggakuten!

Blir det inte y_n+1=1.05y_n+200?

Månadsräntan är ju (1+0.06/12). Dvs: 0.5%.

 

Edit: jag som inte kan räkna på morgonen

löste det

Hur löste du det?

Är 6% verkligen en årsränta?
Att räntan beräknas varje månad betyder inte att den läggs till kapitalet varje månad.
Hur är det just här? Den kanske läggs till kapitalet en gång om året?
Det vore det rimligaste om 6% verkligen är en årsränta.

Med en månadsränta på 0,5% som läggs till kapitalet i slutet på varje månad
blir ju den faktiska årsräntesatsen större än 6%.

Hur förhåller det sig egentligen med räntesatsen och räntebetalningarna  i det här exemplet?

Arktos skrev:

Hur löste du det?

Är 6% verkligen en årsränta?
Att räntan beräknas varje månad betyder inte att den läggs till kapitalet varje månad.
Hur är det just här? Den kanske läggs till kapitalet en gång om året?
Det vore det rimligaste om 6% verkligen är en årsränta.

Med en månadsränta på 0,5% som läggs till kapitalet i slutet på varje månad
blir ju den faktiska årsräntesatsen större än 6%.

Hur förhåller det sig egentligen med räntesatsen och räntebetalningarna  i det här exemplet?

den slutna-formeln jag kom fram till var: $41000*1.{005}^n-40000$. min förståelse för uppgiften är att årsränta är på 6% och varje månad så får man en ny summa så att säga eftersom du får en ökning på 0.5% av det som finns inlagt på ditt konto.

Du har alltså utgått från månadsräntesatsen 0,5% och att räntan läggs till kapitalet i slutet på varje månad.
Det stämmer bra med din differensekvation och startvärdet y(0) = 1000. 

Vad uppgiftsförfattaren har tänkt sig förblir oklart.
Kanske texten utelämnar några allmänna förutsättningar, som man har gått igenom tidigare i kapitlet?
Hur är det med det? Se mitt förra inlägg.

Din lösning till differensekvationen ser för rolig ut! Den är säkert riktig (jag har inte kollat),
men bara av att se lösningen har jag svårt att se hur den hänger ihop med det ursprungliga problemet.
Varifrån kommer t ex 41000?  

Till saken: 
Hur mycket har Pelle på kontot efter fyra år?

Din lösning ger värdet    41000· 1,005^48 – 40000  ≈ 12090.0556

Jag har beräknat beloppet på “det vanliga sättet”, dvs genom att beräkna slutvärdet av varje insättning och sedan lägga ihop dem. Det är 1000 kr som står inne på kontot i 48 månader och till det kommer varje månad 200 kr, som står inne mellan 47 månader och 1 månad. Det ger värdet:

                   1000·1,005^48  +  ∑ 200·1,005^k    där  k  går från 1 till 47  ≈ 11890.0556

Värdena skiljer sig åt med ganska exakt 200 kr.  Hur kommer det sig?
Det kan knappast vara avrundningsfel från de numeriska beräkningarna.
Då måste det vara någon principiell skillnad i de underliggande modellerna.

Förslag?

Jag kontroll beräknade den upp till 10 iteration och det verkade ge exakt samma svar. Angående hur jag kom fram till det var följande.

Ansättning är A:

 $$\begin{gathered} A-1.005A=200 \\ A=-40 000 \end{gathered}$$

Löser för C:

$$\begin{gathered} y_0=c*1.{005}^0-40000=1000 \\ C=41000 \\ och därmed:\hspace{0.17em}41000*1.{005}^n-40000 \end{gathered}$$  

$$\begin{gathered} 41000*1.{005}^n-40000 \\ n=1, 1205 \\ n=2, 1411.02 \\ n=3, 1618.08 \\ (1000*1.005 + 200)=1205 \\ \left(\right(1000*1.005 + 200) 1.005 + 200)=1411.02 \\ \left(\right((1000*1.005 + 200) 1.005 + 200) 1.005 + 200)=1618.08 \end{gathered}$$
Sen angående varför vi har skillnad på 200kr har jag faktiskt ingen aning om varför, inte ens säkert jag har ställt upp rätt sluten formeln men den verkar ju ge rätt svar upp till 10 ( det längsta jag testat).

Hej,

Låt $y_n$ beteckna bankkontots saldo vid slutet av månad nummer $n$ från kontots öppnande. 

Texten säger att $y_1=1000 \cdot 1.06$ kronor och $y_2 =(y_1+200)\cdot 1.06$ kronor.

Beteckna tillväxtfaktorn $r = 1.06$. Då kan du skriva

    $y_2 = ry_1 + 200 r = r(1000r) + 200 r = 1000r^2 + 200r.$

Detta indikerar att $y_3 = 1000r^3 + 200r^2 + 200r$ och så vidare ända fram till

    $y_n = 1000\cdot r^n + 200r\cdot (1+r+r^2+\cdots+r^{n-2}).$

Du ser att det handlar om en geometrisk summa vilket betyder att den kortfattat kan skrivas

    $1+r+r^2+\cdots+r^{n-2} = \frac{r^{n-1}-1}{r-1}.$

Bankkontots saldo vid slutet av månad nummer $n$ är tydligen lika med 

    $y_n = 1000\cdot r^n + 200 r \cdot \frac{r^{n-1}-1}{r-1}$ kronor.

Hej Albiki, tack för ditt utförliga svar! din slutna formel verkar ge exakt samma svar som Arktos, antag att man räknar med r=1.005. dock har min examinator påpekat att både r=1.005 eller 1.06 är giltiga svar och är oviktigt i sammanhanget i sig(dock var $r=(1+\frac{0.06}{12})$ "det mest korrekta" enligt honom, så det var förmodligen så han ville att frågan skulle tolkas ursprungligen.
Jag undersökte din repsektive min formel. Jag ser en distinkt skillnad. y(1) i din formel ger $1000r$ medan min ger $1000r+200$.
Med andra ord, 1005 och min 1205. Där är nog vart skillnaden i 200kr kommer ifrån.  Men då är frågan hur min differensekvation kan vara fel och summera 200kr en gång för mycket? 

$y_{n+1}=r{y}_n+200$,dvs nästa värde är ju föregående*räntan+200kr. Jag accepterar dock att jag har fel i sammanhanget och ni bägge har helt korrekt.

Hej,

Jag skrev att $y_n$ är saldot vid slutet av månad nummer $n.$ Det verkar som att du definierat $y_n$ som saldot vid början av månad $n+1$.

Om det är så blir det att (ditt saldo) är lika med (mitt saldo) plus 200 kronor. 

Albiki skrev:

Hej,

Jag skrev att $y_n$ är saldot vid slutet av månad nummer $n.$ Det verkar som att du definierat $y_n$ som saldot vid början av månad $n+1$.

Om det är så blir det att (ditt saldo) är lika med (mitt saldo) plus 200 kronor. 

Nu hänger jag med, tack så mycket! 

Vad roligt att få processen så mångsidigt belyst!
Jag tror vi har rätt alla tre men på olika sätt.

Vad händer när Pelle hör av sig till banken på nyåret 4 år senare?
–  Hur mycket har jag på kontot i dag?
–  Du har  11 890  kr
–  Vad blir det om jag sätter in 200 till i dag?
–  Då blir det 12 090 kr

Dracaena tänker sig att Pelle frågar om saldot efter att han satt in 200.
Albiki och jag tänker oss att han frågar innan han sätter in mer pengar.

Uppgiftstexten är väl inte glasklar på den punkten heller.

Arktos skrev:

Vad roligt att få processen så mångsidigt belyst!
Jag tror vi har rätt alla tre men på olika sätt.

Vad händer när Pelle hör av sig till banken på nyåret 4 år senare?
–  Hur mycket har jag på kontot i dag?
–  Du har  11 890  kr
–  Vad blir det om jag sätter in 200 till i dag?
–  Då blir det 12 090 kr

Dracaena tänker sig att Pelle frågar om saldot efter att han satt in 200.
Albiki och jag tänker oss att han frågar innan han sätter in mer pengar.

Uppgiftstexten är väl inte glasklar på den punkten heller.

Jag vill påstå att du och Albiki har räknat rätt och jag fel. Om du lägger in 1000 kr kommer du  1sta månaden att få 1000r (där r är räntesatsen) och inte ränta på (1000r+200). Det vore orimligt som jag har räknat att man får ränta i slutet av månaden samtidigt som man lägger in en ny slant. Kul att bli upplyst när man tänker fel. Tack till er båda! 

Som uppgiften är formulerad, tycker jag du har lika rätt.

I början av varje månad efter den första insättningen sätter Pelle in 200 kr.
Frågar han om saldot före eller efter att han satt in månadens 200 kr?
Det vet vi inte – givet texten i uppgiften kan det kan vara vilket som, .

Jag tror jag tänkte att han här, efter 4 år, tänkte lyfta hela beloppet,
men att han först ville försäkra sig om att det räckte till det  han skulle göra med pengarna.
Om inte, skulle han sätta in 200 till och fortsätta som vanligt ett tag till.

Det kan ju lika gärna ha varit tvärtom,
dvs att han börjar med att sätta in 200 och först därefter frågar efter saldot. 

Roligt att du visade hur du löste differensekvationen! Jag har nämligen glömt hur man gör.
Nu ser jag ju varifrån 41000 och 40000 kommer.
Hur kan man förklara dem ekonomiskt?
Trots matematiken är ju detta ett ekonomiskt problem.

Så som jag har förstått det så är det egentligen bara mönstret som Pelles kronor växer varje iteration. Vet inte om det har en ekonomisk signifikans mer än att det funkar. Jag vet faktiskt inte hur man skulle förklara det, det blir ju enklare om man kollar på Albikis differensekv eftersom den ser ju mer ut som något man hade förväntat sig medan min ser, märklig ut. Är ny till differensekvationer själv och kan inte det bra nog att dra ett samband så jag kan faktiskt inte besvara din fråga på ett vettigt sätt men det hade varit intressant att få ett svar på den. Men ser vi på Fibonaccis slutna formel: 

$y_n=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}$ och tänker på att den endast spottar ut heltal, så kanske det inte är så orimligt egentligen även om det ser väldigt konstigt ut. 

Det är ett utmärkt väl valt exempel!
Vem skulle tro att den formeln bara ger ifrån sig heltalsvärden?

Albikis lösning är lättare att tolka än  din (men det går att tolka din också!). 
Å andra sidan använder han en helt annan lösningsmetod än du.

I motsats till Albiki låter jag  r  beteckna räntesatsen.
Albikis  differensekvation skulle väl då se ut så här:

          y(n+1) = (y(n) + 200)(1+r)   med startvärdet   y(1) = 1000·(1+r)

Hur skulle lösningen se ut, om man använder samma lösningsmetod som du?
Det skulle jag bra gärna vilja veta (men jag har som sagt glömt hur man gör).
Kan du göra ett försök?

Hej Arktos,

Precis som Albiki förklarade för mig, jag har räknat det som $y_{n+1}$, som vi alla är överens om så är min slutna formel skriven på sättet att månad 1 så får han ränta och lägger in 200kr. För att uppnå samma reslutat med Albikis formeln behöver vi endast lägga till 200.

$y_n=1000r^n+200+200r\frac{r^{n-1}-1}{r-1}$

y(1)=1205
y(2)=1411.02
y(3)=1618.08
y(48)=12090

Jomenvisst, det har vi ju gått igenom.

Vad jag undrar är vilket algebraiskt uttryck lösningen får,
om man löser differensekvationen med samma
traditionella metod som du använde.

Så här skrev du då:
"Ansättning är A:

 A−1.005A=200 
A=−40 000

Löser för C:
y0=c*1.0050−40000=1000
C=41000
och därmed:   41000*1.005^n−40000 "

$$\begin{gathered} y_{n+1}=(y_n+200)r = r{y}_n+200r \\ {y_{n+1}=r{y}_n+200r \iff y_n}_{+1}-r{y}_n=200r \\ C*p^n där p= roten till y_{n+1}-r{y}_n=0 \iff p=1.005 \\ C*1.{005}^n \\ Ansätnning:\hspace{0.17em}A \\ A-1.005A=201 \\ A=-40200 \\ {y}_0=1000 \iff C=41000 \\ {y}_n=41000*1.{005}^n-40200 \end{gathered}$$

Säg till om det blev lite oklart, kanske brode ha deklarerat alla variablar direkt i början.

Jättekul!
Den här formeln är ju lika konstig som din.
Och så blir varje värde 200 mindre (– 40200 mot –40000 hos dig),
precis som det ska vara.  41000 i början är samma som hos dig.

Här kommer nu vad jag har kommit på om din formel:

Ekonomisk tolkning
Låt r stå för räntesatsen och 1+r för tillväxtfaktorn.

På ekonomiska står  r  normalt för räntesatsen och inget annat,

ungefär som r i en cirkel normalt står för radien och inget annat.

Formeln ser ut så här:     (1000 + 200/r)·(1+r)^n – 200/r
För r = 0,005 blir det             41000 · (1,005)^n – 40000

Formeln ska ge ett uttryck för kapitalvärdet vid tidpunkt n av
          [alla insättningar från och med tidpunkt 0 till och med tidpunkt n ]
dvs 1000·(1+r)^n + ∑200·(1+r)^k där k går från 0 till n .

Kan det stämma?
För en ekonom är i detta sammanhang 200/r lika med summa nuvärde av
          [200 varje månad från och med t = 1 och i all framtid]
På matematiska blir det   ∑200 / (1+r)^k   där k går från 1 till oändligheten. (Visa det)
(Med nuvärde menas kapitalvärde vid tidpunkt 0.)

Uttrycket   1000 + 200/r   är på samma sätt summa nuvärde av
           [1000 vid t = 0 och 200 varje månad från och med t = 1 och i all framtid]
Multiplicerar vi uttrycket med  (1+r)^n  får vi
           kapitalvärdet vid tidpunkt n av samma betalningsföljd.

Det är långt mer än vad vi ska ha, eftersom det även innehåller alla insättningar efter t = n ,
Vi måste därför dra bort kapitalvärdet vid tidpunkt n av
          [200 varje månad från och med  t = n+1  och i all framtid]

Lyckligtvis är det också lika med 200/r . (Visa det)

Därmed är saken klar, dvs
          (1000 + 200/r)·(1+r)^n – 200/r
har visats vara lika med
          1000·(1+r)^n + ∑200·(1+r)^k där k går från 0 till n .

På samma sätt kan vi nu också tolka lösningen till Albikis differensekvation.

Väldigt imponerande!
Av ren nyfikenhet så slog jag in det i Mathematica för att konstatera att det faktiskt blir det och roligt nog stämmer det!$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{\infty }\frac{200}{{(1+{\displaystyle \frac{0.06}{12}})}^k}=40000 ->\mathrm{Precis} \mathrm{som} \mathrm{du} \mathrm{konstaterade} \\ \sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }\frac{200}{1+\frac{0.06}{12}}=40200 -> \mathrm{precis} \mathrm{som} \mathrm{du} \mathrm{konstaterade} \\ \mathrm{Så} \mathrm{vi} \mathrm{lägger} \mathrm{till} 200 \mathrm{oändligt}, \\ \mathrm{men} \mathrm{sedan} \mathrm{måste} \mathrm{vi} \mathrm{ta} \mathrm{bort} 200 \mathrm{oändligt} \mathrm{läng}e \\ \mathrm{efter} \mathrm{första} \mathrm{iterationen}(\mathrm{om} \mathrm{jag} \mathrm{har} \mathrm{fattat}) \\ \mathrm{Väldigt} \mathrm{intressant} \mathrm{att} \mathrm{läsa} \mathrm{och} \mathrm{ta} \mathrm{del} \mathrm{av}, \end{gathered}$$

Detta förklarar ju varför vi har 40000 och -40200!

Det här var roligt!

Jag skulle aldrig gett mig in på att försöka tolka din formel, om jag inte mycket väl visste hur den "borde" se ut för att en ekonom direkt skulle se vad den betyder.  Din lösningsalgoritm har inga sådana restriktioner!  Inte Mathematica heller, alltsomoftast, även om den är strängt konsekvent enligt sina egna principer.  

Vi måste alltså räkna med att behöva möblera om i "algoritmgenererade" formler för att att de ska se rimliga ut för en mänsklig läsare.  Detta viktiga steg ingick nu inte i din uppgift. Det skulle bli en bra fortsättningsuppgift!

Men måste man verkligen gå ända bort i oändligheten och tillbaka får att få fram ett bra uttryck?  Nej, det behöver man inte (kan jag säga, efter att ha sovit på saken):

Enklare tolkning
Här är din formel:              (1000 + 200/r)·(1+r)^n  –  200/r
Börja med att skriva om den så här
                                                1000·(1+r)^n  +  200·[(1+r)^n – 1]/r

Den första termen ger slutvärdet vid tidpunkt  n 
av 1000 kr som sätts in vid tidpunkt 0 .

Den andra termen ska ge  summa slutvärde vid tidpunkt n  
av en följd av insättningar, var och en på 200 kr, 
som sker vid tidpunkterna  1  till och med  n .
Den första har då stått inne i  n-1 perioder och den sista har just satts in.

Summa slutvärde blir därför

                  200·∑ (1+r)^k  där  k  går från  0  till  n-1 

och det är lika med (visa det):  

                  200·[(1+r)^n – 1]/r

precis som det står i formeln.

----------------------------------------------------
I går började jag med att känna igen "räntefaktorn"  1/r .
Det är ju nusummefaktorn för [1 kr om året i evighet med början i tidpunkt 1] !
Tänkte inte på att skriva om uttrycket så som jag gjort ovan. Men det gick ju bra ändå.

Sådant här, dvs slutvärden, nuvärden, nuvärdesummor, annuiteter, ingår i kursen "ekonomiska kalkyler"  (eller liknande) i ämnet företagsekonomi på högskolan.

Hur mycket som ingår i gymnasiematte vet jag inte riktigt. Slutvärde har jag sett att man går igenom och använder men aldrig nuvärde. 

Har inget minne att jag hade någon ekonomi-kurs i gymnasiet, har endast sett dessa termer för det mesta i samband med matematik. Din faktoriserade formel stämmer. Så av ren nyfikenhet ville jag undersöka hur min slutna formel såg ut om jag faktoriserade på samma sätt och den blev konstigare!
se följande: $200(-206+(205*r^n\left)\right)$

dessutom finner jag det fortfarande intressant att denna summan konvergerar! 
$\sum _{k=1}^{\infty }\left(\frac{200}{{(1+{\displaystyle \frac{0.06}{12}})}^k}\right)$

Här hängde jag inte med.
Vilken formel syftar du på och vad gjord du med den?
Vad står   r   för i den formeln?

Termerna i nuvärdesumman bildar en geometrisk serie med kvot mindre än 1.

Jag var otydlig!
Syftade på: $41000*r^n-40200$där r är räntesatsen och n är antal månader. Vi kan bryta ut 200 precis som du gjorde och få följande konstiga uttryck:
$200(-201+205r^n)$, märkte även nu att jag hade slarvat med min faktorisering men nu är den rätt!
Eftersom formeln du kom fram till va ekvivalent med min slutna formel, så bör de ge samma svar.

200·[(1+r)^n – 1]/r

menar du:  $\frac{200{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(1+r)}^k-1}{r}$
Där vi summerar till n-1?

Albiki skrev:

Hej,

Låt $y_n$ beteckna bankkontots saldo vid slutet av månad nummer $n$ från kontots öppnande. 

Texten säger att $y_1=1000 \cdot 1.06$ kronor och $y_2 =(y_1+200)\cdot 1.06$ kronor.

Beteckna tillväxtfaktorn $r = 1.06$. Då kan du skriva

    $y_2 = ry_1 + 200 r = r(1000r) + 200 r = 1000r^2 + 200r.$

Detta indikerar att $y_3 = 1000r^3 + 200r^2 + 200r$ och så vidare ända fram till

    $y_n = 1000\cdot r^n + 200r\cdot (1+r+r^2+\cdots+r^{n-2}).$

Du ser att det handlar om en geometrisk summa vilket betyder att den kortfattat kan skrivas

    $1+r+r^2+\cdots+r^{n-2} = \frac{r^{n-1}-1}{r-1}.$

Bankkontots saldo vid slutet av månad nummer $n$ är tydligen lika med 

    $y_n = 1000\cdot r^n + 200 r \cdot \frac{r^{n-1}-1}{r-1}$ kronor.

Med en formel för saldot är det mest intressanta hur länge man behöver vänta tills ett sparmål uppnåtts. Med andra ord, bestäm den månad ($n$) för vilken saldot $y_n$ överskrider sparmålet $y$ för första gången.

    $y \leq (1000+\frac{200}{r-1})r^{n} - 200 \frac{r}{r-1} \iff \frac{y(r-1) + 200r}{1000(r-1)+200} \leq r^n\iff \frac{1}{\ln r} \cdot \ln\frac{y(r-1) + 200r}{1000(r-1)+200}\leq n.$

Om man vill dubblera saldot så är $y=2000$ och med räntesatsen 6 procent måste man vänta 5 månader.

    $\frac{1}{\ln 1.06}\cdot \ln\frac{2000\cdot 0.06 + 200\cdot 1.06}{1000\cdot 0.06+200} = 4.2$

Vill man nå sparmålet 1 miljon kronor måste man vänta 7 år och 9 månader.

    $\frac{1}{\ln 1.06}\cdot \ln\frac{10^{6}\cdot 0.06 + 200\cdot 1.06}{1000\cdot 0.06+200} = 93.4$

Dracaena skrev:

Jag var otydlig!
Syftade på: $41000*r^n-40200$där r är räntesatsen och n är antal månader. Vi kan bryta ut 200 precis som du gjorde och få följande konstiga uttryck:
$200(-201+205r^n)$, märkte även nu att jag hade slarvat med min faktorisering men nu är den rätt!
Eftersom formeln du kom fram till va ekvivalent med min slutna formel, så bör de ge samma svar.

Nej, din formel var   41000*(1,005)ⁿ – 40000
och jag bröt inte ut 200 utan skrev om uttrycket som en summa av två termer,
där den ena har en faktor  1000  och den andra en faktor  200.  Det ger

 1000*(1,005)ⁿ +  40000[(1,005)ⁿ – 1]  =  1000*(1,005)ⁿ +  200[(1,005)ⁿ – 1]/0,005

Jag envisas också med att skriva på ekonomisk matematiska, där  r  betecknar räntesats och inget annat.  

Att dividera med 0,005 ( dvs  1/200) är samma sak som att multiplicera med 200.
Det är därför siffrornai den ursprungliga formulär blir så stora  (40000 = 200·200),
Det gjorde formeln svårtolkad till en början. Se mitt förra inlägg. 

Summan ska gå från  0  till  n-1 , som sagt. Vid tidpunkt  n  har den första insättn. om 200 stått inne i  n-1 perioder och den sista har just satts in, dvs stått inne i  0  perioder.