Pedagogiskt misstag eller genialisk idé att visa sin(x)/x i introdukion till gränsvärden i matte 3?
1/x eller varianter av den (inkl rationella funktioner) verkar vara prototypiska exempel i matte 3 på elakartade funktioner som man introducerar för att motivera gränsvärdesbegreppets använding att beskriva beteenden i speciella punkter eller oändligheten. 1/x är också ganska intuitivt (skära tårtor eller liknande).
Jag tycker dock att sin(x)/x utgör ett utmärkt exempel på 1) ett ändligt gränsvärde (i en ändlig punkt) utan att använda styckvis definierade funktioner 2) ett gränsvärde i oändligheten där funtkionen faktiskt antar det värdet flera gånger innan den når sitt gränsvärde. 2) tycker jag är en extra viktig poäng att belysa, som dessutom är verklighetsnära, tex en svängande fjäder.
x^x är ett annat exempel för att väcka tankar hos eleven. Tangens är också ett bra exempel. Min poäng är i alla fall att 1/x och rationella funktioner är för ensidigt, man borde visa nåt annat.
Jag tror att det är rätt ambitiöst att tro att gränsvärden som sin(x)/x kommer att förtydliga gränsvärden i ett första skede. Gränsvärden är en rätt abstrakt idé; allt som innefattar oändligt stort/litet är onekligen svårt att föreställa sig. När 1/x används som typexempel finns det ändå en rimlig föreställning om "vi försöker dela en hel grej (en pizza?) på fler och fler och fler människor, det är rimligtvis så att varje persons del blir mindre och mindre och mindre = närmar sig noll, men blir det aldrig riktigt". Motsvarande idéer kan ju användas om .
Problemet som uppstår med sin(x)/x är ju att värdet på sin(x) också förändras med värdet på x. Det blir lite mycket att bolla i huvudet, kan jag tänka mig. Däremot tycker jag tangens eller arctangens är ett bra exempel, där finns det ändå trianglar att hänga upp resonemanget på.
Med det sagt kan det säkert finnas ambitiösa gymnasieelever som tycker att det är spännande med nya, märkliga koncept. Där tror jag att sin(x)/x och xx kanske kan vara roliga att titta på som någon typ av extramaterial?
Bra tankar, men jag menade mer som kansek en visuell aptitretare? Det enda man behöver veta är att nämnaren innehåller ett x, men att funktionen ändå verkar vara definierad där.
Jag tycker att en svängande fjäder är mycket verkligt och lätt att föreställa sig. Just att funktionen kan anta gränsvärdet innan oändligheten tycker jag är viktigt att veta rent konceptuellt.
Man lär sig inte om de trigonometriska funktionerna som funktioner förrän i Ma4, så man skulle behöva göra om mattekursen ganska rejält för att kunna använda denna (högst intressanta) approach.
