PDE med inhomogena randvillkor

Hej,

Du verkar ju vara rätt ute, med att använda variabelseparation, och skriva den generella lösningen som en linjärkombination av lösningarna på formen $R(r)\Theta(\theta)$. 

Hittade följande kompendium där detta exempel tas upp: Solving the Laplace equation by Fourier method

(Exempel 15.1).

Svårt att se var det går snett, utan att se hur du gjort?

Vet inte om det finns någon annan metod, kanske med conformal mapping?

pi-streck=en-halv skrev :

Hej,

Du verkar ju vara rätt ute, med att använda variabelseparation, och skriva den generella lösningen som en linjärkombination av lösningarna på formen $R(r)\Theta(\theta)$. 

Hittade följande kompendium där detta exempel tas upp: Solving the Laplace equation by Fourier method

(Exempel 15.1).

Svårt att se var det går snett, utan att se hur du gjort?

Vet inte om det finns någon annan metod, kanske med conformal mapping?

Hej!

Jag har försökt att göra som det exemplet, men alla mina konstanter (förutom den första konstanten A) blir noll. Detta beror på att de givna randvillkoren är uttryckt i sin^2(theta) respektive cos^2(theta). Så när man integrerar dem (på samma sätt som i exemplet) för att bestämma konstanterna B, C_n, D_n, ... så blir alla dessa noll. Lösningen blir därför en konstant, t.ex.

u(r, theta) = A,

och detta uppfyller då inte de givna randvillkoren? 

Kan du visa uträkningarna? Och vad har du för funktioner $f(\theta)$, $g(\theta)$?

pi-streck=en-halv skrev :

Kan du visa uträkningarna? Och vad har du för funktioner $f(\theta)$, $g(\theta)$?

funktionerna är 

u(R_i, theta) = f(theta) = T_0*sin^2(theta) 
u(R_y, theta) = g(theta) = T_0*cos^2(theta)
(där T_0 är en konstant, R_i = R, R_y = 2R)

beräkning av konstanterna har jag gjort enligt bilden nedan. Använde exakt samma metod som i exemplet, förutom att jag satt konstanterna för C_n till 0, för att jag antar att lösningen ska vara begränsad (och exponenten växer ju oändligt om vi inte sätter C_n = 0?). Integrerar man nedan ekvationer blir alla 0, förutom de två översta med relationen mellan A och B. Dock, när man löser ut A och B, får man att B är 0. Då fås lösningen till A (en konstant).

För $R \leq r \leq 2R$ kan du inte förkasta de koefficienterna skulle jag tro. 

Och är alla de integralerna noll?

Testade denna. 

pi-streck=en-halv skrev :

För $R \leq r \leq 2R$ kan du inte förkasta de koefficienterna skulle jag tro. 

Om man inte förkastar de koefficienterna får man fortfarande att integralerna är 0, och relationen mellan C_n och D_n blir väl isåfall enligt bilden nedan?? Då är väl fortfarande alla koefficienter 0 (förutom A)?

pi-streck=en-halv skrev :

Och är alla de integralerna noll?

Testade denna. 

Hmm. Varför sätter man n=2?
Om man integrerar med n som argument ( Integrate[sin^2(x)*cos(nx),{x,-pi,pi}] ) så får ett svar som uttrycks i sin(n*pi), om n är ett heltal borde väl integralen vara 0 för alla n>=0 ?

xyzABCDE skrev :

pi-streck=en-halv skrev :

Och är alla de integralerna noll?

Testade denna. 

Hmm. Varför sätter man n=2?
Om man integrerar med n som argument ( Integrate[sin^2(x)*cos(nx),{x,-pi,pi}] ) så får ett svar som uttrycks i sin(n*pi), om n är ett heltal borde väl integralen vara 0 för alla n>=0 ?

Man får ett svar med en nämnare som inte är definierad för $n=2$.

$\sin^2(x) \cos(2x) = 1/4 (-1 + 2 \cos(2 x) - \cos(4 x))$ (snodde från Wolfram)

$\cos^2(x) \cos(2x) = 1/4 (1 + 2 \cos(2 x) + \cos(4 x))$

pi-streck=en-halv skrev :

xyzABCDE skrev :

Visa föregående citat

pi-streck=en-halv skrev :

Och är alla de integralerna noll?

Testade denna. 

Hmm. Varför sätter man n=2?
Om man integrerar med n som argument ( Integrate[sin^2(x)*cos(nx),{x,-pi,pi}] ) så får ett svar som uttrycks i sin(n*pi), om n är ett heltal borde väl integralen vara 0 för alla n>=0 ?

Man får ett svar med en nämnare som inte är definierad för $n=2$.

$\sin^2(x) \cos(2x) = 1/4 (-1 + 2 \cos(2 x) - \cos(4 x))$ (snodde från Wolfram)

$\cos^2(x) \cos(2x) = 1/4 (1 + 2 \cos(2 x) + \cos(4 x))$

Hm ok, det är klart! Då borde det finnas konstanter för n = 2. Tusen tack!! Jag ska testa och se vad jag får fram (utan att förkasta C_n) :) 

pi-streck=en-halv skrev :

För $R \leq r \leq 2R$ kan du inte förkasta de koefficienterna skulle jag tro. 

Varför kan man inte förkasta de koefficienterna egentligen? Jag tänker att då n -> inf kommer r^n växa obegränsat, oberoendes om r är bunden??

Oj, jag tänkte nog fel! Det var inget. Alla är ju 0 förutom för n=2, så n går aldrig mot oändligheten. Snurrig hjärna nu.