PDE half-space

Ett half-space är halvan av ett euklidiskt rum som splittats av ett plan eller hyperplan. Detta kan du läsa om på Wikipedia.

Hur det sedan relaterar till ditt problem så har det att göra med definitionsmängderna $t>0,x>0$. När sedan en PDE är definierad i Halvrum är den enklare att lösa enligt något teorem.

En matematiker kan säkert ge dig mer exakt motivation även om det inte finns så många sådana längre på PA.

Tack så mycket för svaret. När du nämner definitionsmängderna menar du att de representerar half space på grund av att det är endast positiva och inte också negativa?

Svaret på den sista frågan måste vara ja. Om du undrar vad problemtextens tredje rad betyder, så är det randfunktionen f för t=0. Att f tillhör L² betyder att integralen av (abs(f))² < oändl. (det är kvadraten på L2-normen) L² är ett Hilbertrum som brukar erbjuda goda möjligheter för approximation med Fourierserier. Att f också tillhör C⁰ antar jag som vanligt betyder, att den är kontinuerlig utan garanti för deriverbarhet. PDE ger jag mig inte på i min ålder. Hoppas att Lars Hörmander ser dig från sin himmel.

Denna PDE kallas för värmeledningsekvationen. Ekvationen består av ett så kallat "half-space" problem eftersom den är definierad för x>0, vilket innebär att den är begränsad till halva linjen. Detta är typiskt för värmeledningsproblem där det finns symmetri eller isolering vid x=0. Villkor 1 är randvillkor och villkor 3 är initialvillkor, medan villkor 2 är själva PDE. Dessa problem brukar oftast lösas med variabelseparation genom att ansätta $U(x, t) = X(x) T(t)$, därifrån går det att härleda två ordinära differentialekvationer som går att lösa med envariabelanalys:

$T'(t) = \lambda T(t)$
$X''(x) = \lambda X(x)$

Att det är derivatan på X som utgör randvillkor på värmeledningsekvationen kallas Neumanvillkor.

Toppen! Fick detta besvarat "above and beyond"!