PDE

Bilden går inte att tyda överhuvudtaget, du verkar ha sänkt upplösningen för mycket. Ladda hellre upp den på imgur så att inte kvaliteten komprimeras så kraftigt.

Jag är fundersam på varför du skriver f' då detta är en funktion av två variabler. Vilken variabel är den deriverad med avseende på?

Edit: Eller jaha, betyder f'x att den är deriverad med avseende på x?

Ebola skrev:

Jag är fundersam på varför du skriver f' då detta är en funktion av två variabler. Vilken variabel är den deriverad med avseende på?

Min chansning är (och av någon anledning skriver folk ibland $f_x=f{\text{'}}_x$, varför vet jag ej?) att det ska tydas som:

$f_x-x·f_y=y$

Moffen skrev:

Ebola skrev:

Jag är fundersam på varför du skriver f' då detta är en funktion av två variabler. Vilken variabel är den deriverad med avseende på?

Min chansning är (och av någon anledning skriver folk ibland $f_x=f{\text{'}}_x$, varför vet jag ej?) att det ska tydas som:

$f_x-x·f_y=y$

Mm, det var avsaknaden av indexering som förvirrade mig.

Skriver ut min lösning här:
PDE: f'x -xf'y = y
Krav: f(x,0) = x^2 + x^3/3
Variabelbyte: u = ax^2 + y
v = x
f'x = f'u * 2ax + f'v
f'y = f'u * (1) + f'v * 0
(f'u * 2ax + f'v) - x(f'u) = y
(f'u * 2(1/2)x + f'v) - x(f'u) = y
f'v = y
f(u,v) = y^2/2 + g(u)
f(x,y) = y^2/2 + g(x^2/2 +y)
f(x,0) = g(x^2/2) = x^2 + x^3/3
t = x^2/2
g(t) = 2t + ((2t)^(3/2))/3
g(t) = 2t + sqrt(8t^3)/3
g(x^2/2 + y) = 2*(x^2/2 + y) + sqrt(8 * (x^2/2 + y)^3)/3
Vilket implicerar att:
f(x,y) = y^2 + 2*(x^2/2 + y) + sqrt(8 * (x^2/2 + y)^3)/3

Detta steg är felaktigt:

f'v = y
f(u,v) = y^2/2 + g(u)

Du integrerar med avseende på variabeln $v$ men behandlar argumentet som att du integrerar med avseende på $y$. Korrekt vore:  ***Detta är fel, se senaste inlägget nedan***

$$\begin{gathered} f_v=y \\ f(u,v)=yx+g\left(u\right) \end{gathered}$$

Jag hittar att en lösning är:

$f(x,y)=\frac{1}{3}{x}^3+yx+2(\frac{1}{2}{x}^2+y)+\frac{1}{3}\sqrt{8{\left(\frac{1}{2}{x}^2+y\right)}^3}$

Denna är ganska nära din men jag kan inte reda ut hur jag ska få till den första termen.

Många svar från mig nu, jag tror hursomhelst jag hittade felet. Det hade att göra med mitt första inlägg där du integrerar $f_v$. Studera denna lösning:

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial v}=y=u-\frac{1}{2}{v}^2 \\ f(u,v)=uv-\frac{1}{6}{v}^3+g\left(u\right) \end{gathered}$$

Uppenbarligen var det jag skrev i mitt första inlägg ovan fel eftersom $y(u,v)$ så det går inte att integrera den så som jag gjorde där. Om vi fortsätter får vi:

$f(u,v)=\left(\frac{1}{2}{x}^2+y\right)x-\frac{1}{6}{x}^3+g\left(u\right)=\frac{1}{3}{x}^3+yx+g\left(u\right)$

Detta  ger oss lösningsgången enligt:

$$\begin{gathered} f(x,0)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{6}{x}^3+g\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=\frac{1}{3}{x}^3+g\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=x^2+\frac{1}{3}{x}^3 \\ g\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=x^2 \\ t=\frac{1}{2}{x}^2 \\ g\left(t\right)=2t \\ g(\frac{1}{2}{x}^2+y)=2(\frac{1}{2}{x}^2+y) \\ f(x,y)=\left(\frac{1}{2}{x}^2+y\right)x-\frac{1}{6}{x}^3+2(\frac{1}{2}{x}^2+y) \\ f(x,y)=\frac{1}{3}{x}^3+yx+x^2+2y \end{gathered}$$

Ebola skrev:

Många svar från mig nu, jag tror hursomhelst jag hittade felet. Det hade att göra med mitt första inlägg där du integrerar $f_v$. Studera denna lösning:

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial v}=y=u-\frac{1}{2}{v}^2 \\ f(u,v)=uv-\frac{1}{6}{v}^3+g\left(u\right) \end{gathered}$$

Uppenbarligen var det jag skrev i mitt första inlägg ovan fel eftersom $y(u,v)$ så det går inte att integrera den så som jag gjorde där. Om vi fortsätter får vi:

$f(u,v)=\left(\frac{1}{2}{x}^2+y\right)x-\frac{1}{6}{x}^3+g\left(u\right)=\frac{1}{3}{x}^3+yx+g\left(u\right)$

Detta  ger oss lösningsgången enligt:

$$\begin{gathered} f(x,0)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{6}{x}^3+g\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=\frac{1}{3}{x}^3+g\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=x^2+\frac{1}{3}{x}^3 \\ g\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=x^2 \\ t=\frac{1}{2}{x}^2 \\ g\left(t\right)=2t \\ g(\frac{1}{2}{x}^2+y)=2(\frac{1}{2}{x}^2+y) \\ f(x,y)=\left(\frac{1}{2}{x}^2+y\right)x-\frac{1}{6}{x}^3+2(\frac{1}{2}{x}^2+y) \\ f(x,y)=\frac{1}{3}{x}^3+yx+x^2+2y \end{gathered}$$

Tack så hjärtligt mycket!

Kommer komma ihåg felet! Det gäller att försöka ha samma typer av variabler när man integrerar partiellt, och integrera korrekt.