Påstende för funktioner och dess grafter

Och så här tänker jag.. 

ASant✅: då grafen f(x)=x² har en extrempunkt för x=0.

B: Sant✅: då grafen f(x)=x² antar sitt minsta värde vid x=0

C: Sant, det är ett kriterium för extrempunkter.

DD. Sant, en summa av konvexa funktioner är kan enbart bli konvex.

E. Falskt, en konvex funktion minus en konkav funktion kan vara varierande.
men det stämmer inte. Jag undrar vart jag tänker fel

Jag kan endast uttala mig om A-C. 

A och B har du svarat rätt.

C är fel eftersom en funktions största värde inte behöver vara vid extrempunkterna utan kan vara vid intervallens gränser. Du behöver alltså både kolla de punkter där f'(x)=0 och undersöka funktionens värde i a och b (intervallets gränser).

Ja just det! För C det tänkte jag inte på! 

Hur ska man tänka för E & D?

Vad menas med en konvex respektive konkav kurva?

Konvex= växande funktion

konkav=avtagande funktion

Maddefoppa skrev:

Konvex= växande funktion

konkav=avtagande funktion

Nej, det stämmer inte riktigt.

Till exempel är f(x) = x² konvex överallt, men den är inte växande för x < 0.

Läs här om konvexa funktioner och fråga oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Okin men  det gäller väl ändå för f”x att Om f”(x)= posetiv = konkav & om f”(x)= negativ konvex.

men ex x^2 har ju bara 2 som andra derivata. 

$f^{\prime\prime}(x)$ är positiv betyder att $f^{\prime \prime}(x)>0$ och då är $f(x)$ konvex.

Om $f­­(x)=2$ så är $f^{\prime \prime}(x)>0$ dvs positiv och därmed är $f(x)$ konvex.

Maddefoppa skrev:

Okin men  det gäller väl ändå för f”x att Om f”(x)= posetiv = konkav & om f”(x)= negativ konvex.

Nej, det stämmer inte. Läs sidan jag länkade till, speciellt avsnittet Egenskaper/Villkor för konvexitet.

Eller det du själv citerade här:

Ja! Hoppsan skrev lite fel:). Men vet också att då f” är posetivt= minimepunkt & om f”=- (negativt) är det ett maxime. 

Om jag tänker lite att rent logiskt sätt blir summan äv en konvex funktion= konvex. Men någonting säger mig att det ändå kanske inte stämmer eftersom det skulle ju kunna vara så att vi har ett 3:e gradspolynom ex med en inflexionspunkt . Men innan och efter är f(x)= konvex. 

Lite osäker:(

Maddefoppa skrev:

Ja! Hoppsan skrev lite fel:). Men vet också att då f” är posetivt= minimepunkt & om f”=- (negativt) är det ett maxime. 

Det gäller bara i de punkter där förstaderivatan f' är lika med 0.

Om jag tänker lite att rent logiskt sätt blir summan äv en konvex funktion= konvex.

Jag förstår inte riktigt vad du menar med "summan av en konvex funktion". Kan du ge något exempel?

Men någonting säger mig att det ändå kanske inte stämmer eftersom det skulle ju kunna vara så att vi har ett 3:e gradspolynom ex med en inflexionspunkt . Men innan och efter är f(x)= konvex. 

Nej, funktionen kan inte vara konvex både innan och efter inflexionspunkten.

Vid en inflexionspunkt övergår nämligen funktionen från att vara konvex till att vara konkav eller tvärtom.

Läs mer om inflexionspunkt här.

just det för inflexionspunkten blir ju tecken växling:) Vad dum jag är:)

Det är för E & D jag inte riktigt vet hur jag ska tolka. Förstår inte vad de menar riktigt. Om jag tänker på konvex tänker jag på en stigande graf. Och posetivt och summan av två posetiva värden är +. 

på samma sätt tänket jag lite för D. Om vi har en konvex tänker jag (+) & för konkav tänker jag (-) men vet inte lm jag tänker rätt eller hur jag kommer vidare.

Uppgift D) påstår att summan av två konvexa funktioner är konvex.

Låt oss skapa en summa av två konvexa funktioner $r(x)=g(x)+h(x)$

$g(x)$ är konvex då $g´´(x)>0$ enligt vår konstruktion

$h(x)$ är konvex då $h´´(x)>0$ enligt vår konstruktion

Studera andraderivatan av summan, $r''(x)$. Kan vi säga att $r''(x)>0$ givet förutsättningarna för $g$ och $h$?

Har inte gått igenom några regler för hur man summerar andra derivator. Men jag antar att det gäller detsamma som för addition av derivtor dvs att r”(x)=h”(x)+g”(x)

Isånafall gäller att för r”(x)>0  då h”(x) & g”(x) >0. Dvs att r”(x) också kommer vara konvex? 

Dvs som jag skrev innan att D bör vara sant:)

Om jag tänker rätt bör det då även gälla att E stämmer så liknande sätt? Eller tänker jag fel?

För förstår inte hur man ska tänka för E & D. För som sagt tänker jag att sant: A,B & E och falskt: C & D. Men det stämmer inte:(

Förstår inte hur D kan vara sant

Maddefoppa skrev:

Förstår inte hur D kan vara sant

Läs D4NIELs svar #15.

Din analys i svar #16 är rätt i tanke, men du råkade skriva fel på slutet.

Så här är det:

Låt r(x) = g(x)+h(x).

Då är, enligt vanliga deriveringsregler, r''(x) = g''(x)+h''(x).

Eftersom g(x) är konvex så är g''(x) > 0 överallt.

Eftersom h(x) är konvex så är h''(x) > 0 överallt.

Eftersom summan av två positiva tal är ett ppsitivt tal så kommer även r''(x) > 0 överallt.

Det betyder att r(x) är konvex.

Detta resonemang går att generalisera till att gälla en summa av ett godtyckligt antal funktioner.

Därför är påstående D sant.

Maddefoppa skrev:

Om jag tänker rätt bör det då även gälla att E stämmer så liknande sätt? Eller tänker jag fel?

Bra tänkt. Läs påstående E noga och gör ett liknande resonemang som för påstående D. Visa ditt resonemang.

Påstående A är sant eftersom funktionens minsta värde antas i origo. Det finns ingen annan punkt med lägre (mer extremt) värde.

Påstående B är sant enligt samma resonemang som för påstående A.

Eller, om vi vill:

• Derivatan f'(x) = 2x har ett nollställe vid f'(x) = 0, dvs 2x = 0, dvs vid x = 0.
• Andraderivatan f''(x) = 2 är positiv vid x = 0, alltså är (0, 0) en minimipunkt.

Att påstående C är falskt har du redan kommit fram till, se Mesopotamias svar #3 och ditt svar #4.

Tack för så tydligt svar som vanligt Yngve:) Nu förstår jag:) 

För E blir det liknande sätt men istället - -+ vilket kommer bli + dvs f(x)= konvex då f”x blir större än 0. 

Men en fråga bara varför deffinerar man konvex respetive konkav funktion utifrån andra derivatans tecken?

Maddefoppa skrev:

För E blir det liknande sätt men istället - -+ vilket kommer bli + dvs f(x)= konvex då f”x blir större än 0. 

Om du menar att r(x) = g(x)-h(x) är konvex om f är konvex och g är konkav så stämmer det.

Men en fråga bara varför deffinerar man konvex respetive konkav funktion utifrån andra derivatans tecken?

Det gör man inte. Läs artikeln jag länkade till i svar #8. Där finns även en länk till motsvarande text om konkava funktioner.

Maddefoppa skrev:

Din bild syns inte.