Påstående; sant eller falskt

C) divergensen av F är ett skalärfält, som du sedan kan ta gradienten av. 

Dr. G skrev:

C) divergensen av F är ett skalärfält, som du sedan kan ta gradienten av. 

Det säger mig tyvärr inte så mycket, kan man försöka utveckla VL för att se om man får något lämpligt uttryck?
Om jag börjar med att beräkna $\nabla \cdot \mathbf{F}=\dfrac{\partial F_1 }{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}$. Nu fattas att ta gradienten på detta, det är här jag tycker det blir konstigt då gradienten på en skalär känns fel. Har du någon kommentar om detta?

Testa med ett praktiskt fält $F(x,y,z)=\left(x^2+y^2, 12y,y^5+zx\right)$

Vad blir $\nabla \cdot \mathbf{F}$?

Testa sedan att ta gradienten $\nabla(\nabla \cdot \mathbf{F})$

D4NIEL skrev:

Testa med ett praktiskt fält $F(x,y,z)=\left(x^2+y^2, 12y,y^5+zx\right)$

Vad blir $\nabla \cdot \mathbf{F}$?

Testa sedan att ta gradienten $\nabla(\nabla \cdot \mathbf{F})$

Ok jag testar.
$\nabla \cdot \mathbf{F}=(2x,12,x)$
$\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F})=(2,0,0)$

Känns rimligt. Kan man resonera som jag har gjort på A och B? Jag menar, om vi tar B, det går väl inte och uttrycka skalärprodukten då f inte är en vektor? Låt $f(x,y)=xy$

$\nabla \cdot f\left(x,y\right) = \left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \cdot ????$

Nu måste vi först enas om vad divergensen $\nabla \cdot \mathbf{F}$ faktiskt betyder:

$\nabla \cdot \mathbf{F}=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot (x^2+y^2,12y,y^5+zx)=2x+12+x=3x+12$

Vilket är en skalär!

Och ja, ditt resonemang stämmer på b).

D4NIEL skrev:

Nu måste vi först enas om vad divergensen $\nabla \cdot \mathbf{F}$ faktiskt betyder:

$\nabla \cdot \mathbf{F}=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot (x^2+y^2,12y,y^5+zx)=2x+12+x=3x+12$

Vilket är en skalär!

Och ja, ditt resonemang stämmer på b).

Jag skrev lite för snabbt där. Gradienten blir sedan $(3,0,0)$ korrekt?

Ja, det stämmer.

Så $\mathbf{F}$ är en vektorvärd funktion

$\nabla\cdot \mathbf{F}$ är en skalärvärd funktion

$\nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})$ är en vektorvärd funktion

D4NIEL skrev:

Ja, det stämmer.

Så $\mathbf{F}$ är en vektorvärd funktion

$\nabla\cdot \mathbf{F}$ är en skalärvärd funktion

$\nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})$ är en vektorvärd funktion

Tusen tack Daniel. Sista frågan, mitt A resonemang, är det ok?

Ja, det är korrekt, man kan inte ta rotationen av en skalär (och $\nabla \cdot \mathbf{F}$ blir ju en skalärvärd funktion)