Pascals formel / identitet

Hej!

Jag har försökt att lösa uppgiften nedan:

"Visa att: $\binom{k}k = \binom{k+1}{k}+...+\binom{n}k = \binom{n+1}{k+1}$ "

Jag testade med t.ex. 3 stycken additioner och tänkte följande:

$\binom{k}{k} + \binom{k+1}{k} + \binom{k+2}{k} = \binom{k+3}{k+1}$

om $\binom{k+3}{k}$ är = $\binom{n+1}{k+1}$ tänker jag att $k=n-2$

Därför kan $\binom{k+3}{k+1}$ skrivas som $\binom{(n-2)+3}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ .

Jag har dock inte visat att förhållandet gäller allmänt, jag har ju egentligen bara använt förhållandet som redan angavs i uppgiften och sedan antagit att det var sant.

Men $(\begin{matrix} k \\ k \end{matrix}) = 1$ och inte alls det du skriver...

Smaragdalena skrev:
Men $(\begin{matrix} k \\ k \end{matrix}) = 1$ och inte alls det du skriver...

Förlåt, det skall nog vara ett ett + och inte = efter $\binom{k}{k}$ . Forumet låter mig inte redigera posten.

Alltså " $\binom{k}{k} + \binom{k+1}{k} +...+ \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k+1}$ "

Jag har dock garanterat gjort fel, men jag kommer inte vidare. Bokens tips är att upprepat applicera Pascals formel på $\binom{n+1}{k+1}$ men jag har ingen framgång med det heller:

$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$ men jag begriper inte hur det hjälper mig.

Kika på denna tråden.

https://www.pluggakuten.se/trad/1197-visa-att-kombinatorik-summa/?#post-be9baa26-55ff-4599-b662-ad850178a101

Dracaena skrev:
Kika på denna tråden.

https://www.pluggakuten.se/trad/1197-visa-att-kombinatorik-summa/?#post-be9baa26-55ff-4599-b662-ad850178a101

Hej Dracaena, tack för tipset. Trots en utförlig förklaring klickar det inte riktigt för mig.

Jag har $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$

Genom att upprepade gånger applicera Pascals formel köper jag att detta kan skrivas:

$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n-1}{k} + \binom{n-2}{k} + ... + \binom{k}{k}$

Är det inte redan här bevisat? Jag tycker att i högerledet räknar man ihop summan ifrån $\binom{k}{k}$ (1) upp till $\binom{n}{k}$ , och i vänsterled summerar man ifrån $\binom{n}{k}$ och "nedåt" till $\binom{k}{k}$ igen, ergo är HL = VL?

Dock skriver du att du påbörjar beviset med en följd: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n}{k}+ \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k+1}$ och sedan säger att om man fortsätter på det spåret så får man snart samma som HL. Men så kan man väl fortsätta i all oändlighet? Vad är det jag missar?

Svara

Visa senaste svar