Pascals formel - bevis

Visa att

$\left(\begin{array}{c}k\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}k+1\\ k\end{array}\right)+...+ \left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) =\hspace{0.17em}\left(\begin{array}{c}n+1\\ k+1\end{array}\right)$

Min lösning: 

* Tillämpar Pascals formel i HL och sedan varje gång i sista termen i summan:

HL = $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right) =\hspace{0.17em}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n-1\\ k+1\end{array}\right) + ...+ \left(\begin{array}{c}k+1\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}k+1\\ k+1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right) =\hspace{0.17em}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n-1\\ k+1\end{array}\right) + ...+ \left(\begin{array}{c}k+1\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}k\\ k\end{array}\right)$ = VL

eftersom $\left(\begin{array}{c}k\\ k\end{array}\right) =\hspace{0.17em}\left(\begin{array}{c}k+1\\ k+1\end{array}\right) =\hspace{0.17em}1$  VSV.

Kan man göra så här? Eller finns det ett annat smidigare sätt att göra det på? Känns som något fattas - att jag gör fel eller att jag inte riktigt är tydlig..Men jag använder ju helt enkelt Pascals formel och går "bakåt" fram till termen $\left(\begin{array}{c}k\\ k\end{array}\right)$.