Partionering av område.
Hej!
Har lite problem i flervariabelanalysen när man ska partionera områden för att beräkna dubbel-och trippelintegraler. Jag skulle behöva några tips på hur man ska tänka när man partionerar ett område och ställer upp själva integralen. Räkningen sedan har jag inga större problem med.
Exempel: Beräkna trippelintegralen..
Området Ω är beläget i R^3:s första oktant (x, y, z ≥ 0) och avgränsas av cylindrarna
x^2+z^2=1 och y=x^2 samt koordinatplanen.
Hur går ni tillväga när ni delar upp området?
Tack på förhand!
Det är ju lite beroende på hur området ser ut. Man får försöka rita upp området på papper, det jag brukar göra är att sätta en eller två variabler till 0 och rita området. Det är extra bra när alla tre variabler är med, typ x^2+y^2+z^2=1. Om jag sätter z=0 så befinner jag mig i xy-planet, och uttrycket blir x^2+y^2=1 vilket vi lätt indentifierar som en cirkel med radie 1.
Så prova att göra något liknande för ditt fall, vad blir funktionerna i de olika planen som spänns upp av två koordinataxlar? prova att rita det. Då kan du ganska lätt sätta upp villkor för de olika variablerna.
Om du också sätter in y=x^2 i första ekvationen får du y=1-z^2. I din bild borde du se att y alltid kan vara 0, så gränsen för y är då
För x kan du se att x alltid kan vara 1, och om den ska vara lägre så begränsas den av kurvan y=x^2, så gränsen för y är alltså
Sist har vi z, och den kan (och måste) vi sätta med konstanter som gränser. Du ser att z är mellan 0 och 1, så gränsen för z blir då .
Det är vad jag skulle gjort. Sen integrationsordningen får man välja utefter detta.
