Partikulärlösningar

Uppgift:

Lös följande ekvation

$y\text{'}\text{'} + 6y\text{'} + 9y = 4e^{-x}, y\left(0\right) = 2, y\text{'}\left(0\right) = -2$

Jag började med att sätta $y_p = Z \times 4e^{-x}$

Med hjälp av den får man:

$y_p\text{'} = (Z\text{'}-Z)\times 4e^{-x}$ och $y_p\text{'}\text{'} = (Z\text{'}\text{'}-2Z\text{'}+Z)\times 4e^{-x}$

Sätter man sedan in dem i formeln y'' +6y' + 9y = 4e^-x får man:

$$\begin{gathered} (Z\text{'}\text{'}+4Z\text{'}+4Z)\times 4e^{-x} = 4e^{-x} \\ (Z\text{'}\text{'}+4Z\text{'}+4Z) = 1 \end{gathered}$$

Sen sätter jag $Z = A$och får:

$$\begin{gathered} (0 +4\times 0+ 4A) = 1 \\ A = \frac{1}{4} \\ Z = A \\ Z = \frac{1}{4} \end{gathered}$$

I början sa jag att $y_p = Z \times 4e^{-x}$ vilket innebär:

$y_p =e^{-x}$ (Denna del är rätt enligt facit)

Sen har vi $y_n$ som man måste ta reda på. Då sätter vi den ursprungliga ekvation lika med 0:

$Z\text{'}\text{'}+6Z\text{'}+9Z = 0$

Och sen använder vi oss av $P\left(r\right)= r^2+ar+b = 0$ för att ta reda på $y_n$

$$\begin{gathered} r^2+6r+9 = 0 \\ {r}_1=-3, r_2 = -3 \end{gathered}$$

Eftersom det är en dubbelrot innebär detta(om jag inte har helt fel. Edit: Jag hade fel) att: 

$y_n= A{e}^{-3x}$

Edit: Det ska vara $y_n=(Ax+B)e^{-3x}$

Vi vet att $y =y_p + y_n$ vilket betyder att $y =e^{-x} + A{e}^{-3x}$ (Edit: Detta är fel)

Edit: Det ska vara $y =e^{-x} + (Ax+B)e^{-3x}$

Sen har vi $y\left(0\right) = 2$och $y\text{'}\left(0\right) = -2$

I min formel sakas bara värdet på en variabel vilket gör att det känns konstigt att man får y(0) och y'(0). Oavsett så om man försöker lösa "mitt A" med y(0)-informationen får jag fel svar. (Edit: Om man löser ekvationen $y =e^{-x} + (Ax+B)e^{-3x}$ med y(0) och y'(0) får man rätt.)

Svaret är $y=(1+2x)e^{-3x}+e^{-x}$

Jag har kommit fram till $e^{-3x}$och $e^{-x}$ men det verkar vara något i sista steget som fallerar. (Edit: Uppgiften är löst. Läs alla "Edit")

Tack i förhand.