Partikulärlösning till y´´(t) + y = sin t

Hej, jag har fastnat på följande uppgift.

y´´(t) + y(t) = sin t

Jag har tagit fram den homogena lösningen och fått den till y(t) = $c 1 \cos (t) + c 2 \sin (t)$

Problemet uppstår när jag ska ta fram den partikulära lösningen. Jag ansätter att: y = A cos (t) + B sin (t)

När jag tar fram andraderivatan och sätter in i ekvationen får jag:

-A cos (t) - B sin (t) + A cos (t) + B sin (t) = sin t

Vilket medför: 0 = sin t

Har jag gjort något tokigt i min uträkning eller finns det något annat sätt att ta fram partikulärlösingen?

Är din ansättning verkligen två cos-uttryck, eller har tryckfelsnisse varit framme?

Oavsett, din ansättning blir i detta fall inte tillräckligt, eftersom en del av ansättningen finns med i den allmänna lösningen. Multiplicera ansättningen med t, och lös som vanligt. Då ska det fungera. :)

pepparkvarn skrev:
Är din ansättning verkligen två cos-uttryck, eller har tryckfelsnisse varit framme?
Oavsett, din ansättning blir i detta fall inte tillräckligt, eftersom en del av ansättningen finns med i den allmänna lösningen. Multiplicera ansättningen med t, och lös som vanligt. Då ska det fungera. :)

Givetvis ska det stå att partikulärlösningen är: y = A cos t + B sin t

Om jag plockar fram andraderivatan och sätter in den tillsammans med y i uttrycket får jag:

(- A cos t - B sin t) + (A cos t + A sin t) = sin t

Menar du att jag ska sätta att partikulärlösningen är y = t(A cos t + B sin t)

Då blir uttrycket istället:

0 + t(A cos t + B sin t) = sin t , tänker jag rätt?

Du måste hitta den nya andraderivatan, men ja. Det brukar lösa problemet med att uttrycken tar ut varandra. :)

Som pepparkvarn sa måste du hitta dubbla derivatan av $y = x (a \sin (x) + b \cos (x))$

Ifall du använder produkt regeln får du $y'' = (- a x - 2 b) \cdot \sin (x) + (2 a - b x) \cdot \cos (x)$ så vi får

$y'' + y = \sin (x) \cdot (- a x - 2 b + a x) + \cos (x) \cdot (2 a - b x + b x) = \sin (x) \cdot (- 2 b) + \cos (x) \cdot (2 a)$

nu är det lätt att se att $a = 0, b = - \frac{1}{2}$ lösert och vi får alltså

$y_{p} = - \frac{x \cdot \cos (x)}{2}$

Som pepparkvarn sa måste du hitta dubbla derivatan av y=...

"Dubbla derivatan" borde betyda 2y'.

y'' heter andraderivatan.

Kallaskull skrev:
Som pepparkvarn sa måste du hitta dubbla derivatan av $y = x (a \sin (x) + b \cos (x))$
Ifall du använder produkt regeln får du $y'' = (- a x - 2 b) \cdot \sin (x) + (2 a - b x) \cdot \cos (x)$ så vi får
$y'' + y = \sin (x) \cdot (- a x - 2 b + a x) + \cos (x) \cdot (2 a - b x + b x) = \sin (x) \cdot (- 2 b) + \cos (x) \cdot (2 a)$
nu är det lätt att se att $a = 0, b = - \frac{1}{2}$ lösert och vi får alltså
$y_{p} = - \frac{x \cdot \cos (x)}{2}$

Om jag har förstått det hela rätt är det enda jag behöver göra att multiplicera ansättningen med t. Jag behöver väl inte göra desamma med "högerledet", dvs sätta att ansättningen ska vara lika med t x sin t?

Denrosagrodan skrev:
Kallaskull skrev:
Som pepparkvarn sa måste du hitta dubbla derivatan av $y = x (a \sin (x) + b \cos (x))$
Ifall du använder produkt regeln får du $y'' = (- a x - 2 b) \cdot \sin (x) + (2 a - b x) \cdot \cos (x)$ så vi får
$y'' + y = \sin (x) \cdot (- a x - 2 b + a x) + \cos (x) \cdot (2 a - b x + b x) = \sin (x) \cdot (- 2 b) + \cos (x) \cdot (2 a)$
nu är det lätt att se att $a = 0, b = - \frac{1}{2}$ lösert och vi får alltså
$y_{p} = - \frac{x \cdot \cos (x)}{2}$
Om jag har förstått det hela rätt är det enda jag behöver göra att multiplicera ansättningen med t. Jag behöver väl inte göra desamma med "högerledet", dvs sätta att ansättningen ska vara lika med t x sin t?

Min läsförståelse suger (vet inte vad "ansättningen" betyder sorry) men ifall frågan är ifall du behöver sätta $y'' - y = x \cdot \sin (x)$ (eller x=t) så är svaret nej

Kallaskull skrev:
Denrosagrodan skrev:
Kallaskull skrev:
Som pepparkvarn sa måste du hitta dubbla derivatan av $y = x (a \sin (x) + b \cos (x))$
Ifall du använder produkt regeln får du $y'' = (- a x - 2 b) \cdot \sin (x) + (2 a - b x) \cdot \cos (x)$ så vi får
$y'' + y = \sin (x) \cdot (- a x - 2 b + a x) + \cos (x) \cdot (2 a - b x + b x) = \sin (x) \cdot (- 2 b) + \cos (x) \cdot (2 a)$
nu är det lätt att se att $a = 0, b = - \frac{1}{2}$ lösert och vi får alltså
$y_{p} = - \frac{x \cdot \cos (x)}{2}$
Om jag har förstått det hela rätt är det enda jag behöver göra att multiplicera ansättningen med t. Jag behöver väl inte göra desamma med "högerledet", dvs sätta att ansättningen ska vara lika med t x sin t?
Min läsförståelse suger (vet inte vad "ansättningen" betyder sorry) men ifall frågan är ifall du behöver sätta $y'' - y = x \cdot \sin (x)$ (eller x=t) så är svaret nej

Okej, vad bra. Tack, det var svaret på min fråga!

Att man ansätter en lösning betyder att man gissar en lösning av rätt typ med ett antal obestämda koefficienter, som man sedan beräknar.

Smaragdalena skrev:
Att man ansätter en lösning betyder att man gissar en lösning av rätt typ med ett antal obestämda koefficienter, som man sedan beräknar.

Jag brukar använda substantivet ansats, inte ansättning.

Svara

Visa senaste svar