partikulärlösning med trigonometrisk grej i HL (Matematik/Universitet)

Vad får du om du ansätter

$y_p(t) =t(A\sin t + B\cos t)$

?

Dr. G skrev:
Vad får du om du ansätter
$y_p(t) =t(A\sin t + B\cos t)$
?

jag kan testa men vart kommer det ifrån? är det någon som allmänt gäller när man har sin / cos i HL ?

Om jag minns rätt (vilket jag inte är säker på) så kan det vara klokt att ansätta y=a*sin(t)+b'sin(t) och se om man kan få det att stämma. Om inte det duger, kan man behöva ansätta något krångligare.

Här har du att HL löser den homogena ekvationen. Då kan man prova att ansätta

$y_p(t) = C\cdot t\cdot HL(t)$

Nu när HL var en sinus så får man kanske även slänga med en cosinus.

okej men jag förstår inte vad det är jag ska göra efter att jag ansatt något, har aldrig räknat med detta

jag ansatte t(a sint + b cost) och fick allting till

3A cos(t) - B sin (t) - At sin(t) - Bt cos (t) = sin t

hur löser man ut A och B ur detta?

Smaragdalena skrev:
Om jag minns rätt (vilket jag inte är säker på) så kan det vara klokt att ansätta y=a*sin(t)+b'sin(t) och se om man kan få det att stämma. Om inte det duger, kan man behöva ansätta något krångligare.

y enligt ovan löser den homogena ekvationen och kräver att HL = 0.

Normalt brukar man ansätta asint + bsint då man har sint i högerledet. Men det fungerar inte i detta fall, då detta bara är en lösning till den homogena ekvationen. Därför har man en allmännare ansats med en faktor t framför när man försöker hitta partikulärlösning.

Dr. G skrev:
Smaragdalena skrev:
Om jag minns rätt (vilket jag inte är säker på) så kan det vara klokt att ansätta y=a*sin(t)+b'sin(t) och se om man kan få det att stämma. Om inte det duger, kan man behöva ansätta något krångligare.
y enligt ovan löser den homogena ekvationen och kräver att HL = 0.

Så var det, ja. Då får man ta till "nånting krångligare" alltså, lämpligen t(a*sin/t)+b*cos(t).

Maremare skrev:
okej men jag förstår inte vad det är jag ska göra efter att jag ansatt något, har aldrig räknat med detta
jag ansatte t(a sint + b cost) och fick allting till
3A cos(t) - B sin (t) - At sin(t) - Bt cos (t) = sin t
hur löser man ut A och B ur detta?

Har du derivat rätt?

Vad blir den ansatta partikulärlösningens derivata och andraderivata?

Dr. G skrev:
Maremare skrev:
okej men jag förstår inte vad det är jag ska göra efter att jag ansatt något, har aldrig räknat med detta
jag ansatte t(a sint + b cost) och fick allting till
3A cos(t) - B sin (t) - At sin(t) - Bt cos (t) = sin t
hur löser man ut A och B ur detta?
Har du derivat rätt?
Vad blir den ansatta partikulärlösningens derivata och andraderivata?

$y = t (A \sin t + B \cos t) y' = (A \sin t + B \cos t) + t (A \cos t - B \sin t) y'' = A \cos t - B \sin t + (A \cos t - B \sin t) + t (- A \sin t - B \cos t) = = 2 A \cos t - 2 B \sin t - t A \sin t - t B \cos t y_{p} = 2 A \cos t - 2 B \sin t - t A \sin t - t B \cos t + t (A \sin t + B \cos t) = \sin t$

vet ändå inte vad som ska göras efter så kan inte kontrollera det på något sätt

Då kan du förenkla

$y_p''(t)+y_p(t) = 2A\cos t - 2B\sin t$

Tydligen skulle detta också vara lika med sin(t), vilket ger

A = ...

B = ...

Dr. G skrev:
Då kan du förenkla
$y_p''(t)+y_p(t) = 2A\cos t - 2B\sin t$
Tydligen skulle detta också vara lika med sin(t), vilket ger
A = ...
B = ...

A = 0

B = -1/2

?

Ja, så din partikulärlösning blir ...

Dr. G skrev:
Ja, så din partikulärlösning blir ...

-1/2 t cos t

nu då?

Yes!

Lägg på den allmänna homogena lösningen och se vilka värden på koefficienterna som uppfyller de två villkoren vid t = 0.

Dr. G skrev:
Yes!
Lägg på den allmänna homogena lösningen och se vilka värden på koefficienterna som uppfyller de två villkoren vid t = 0.

hm

alltså det blir ju y = yh + yp = Acos t + B sin t + (-1/2)t cos t

men vi har ju redan värden på A och B eller är det andra konstanter i yh ? typ konstanterna C och D istället som ska lösas? alltså y = yh + yp = C cos t + D sin t + (-1/2)t cos t ?

C och D får du från

y(0) =y'(0) = 0

Eftersom du vet att y(0) = 0 och att y'(0) = 0 så kan du ta reda på värdet för konstanterna.

Dr. G skrev:
C och D får du från
y(0) =y'(0) = 0

OJ! jag fick till slut: $y = \frac{1}{2} \sin t - \frac{t}{2} \cos t$

det verkar stämma för det står så med i facit :D

tack snälla för hjälpen med denna, denna var för mig utöver det vanliga men fick loss det till slut så nu kan jag lösa alla dessa variantrar.

hade bara denna kvar så nu kan äntligen packa ihop för denna fredags afton och blicka framåt för imorgon bitti är det dags igen

trevlig fredag!!