Partikulärlösning - ansats

Hej! Jag undrar vad som blir fel i min partikulärlösning (vet att man kan använda förskjutningsregeln men ändå intresserad av att veta varför detta inte funkar. Jag misstänker att felet ligger i att inte ta hänsyn till produktregeln när jag deriverar $z{e}^{-x}$ (och försöker man göra det så blir det snabbt riktigt bökigt?!)

Uppgift:
Lösning
Ansats: 
$$\begin{gathered} {}_{y=z{e}^{-x} , y\text{'}=-z\text{'}{e}^{-x}, y\text{'}\text{'}=z\text{'}\text{'}{e}^{-x} , y\text{'}\text{'}\text{'}=-z\text{'}\text{'}\text{'}{e}^{-x} \\ {e}^{-x}(-z\text{'}\text{'}\text{'}+2z\text{'}\text{'}+z\text{'}-2z)={\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{x}} \\ \mathbf{-}\mathit{z}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{z}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{+}\mathit{z}\mathbf{\text{'}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{z}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{ }\stackrel{}{\mathbf{\to }\mathbf{ }\mathbf{z}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathbf{ }\mathit{o}\mathit{c}\mathit{h}\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{x}}\mathbf{ }} \end{gathered}$$