Partikulärlösning

y^''+4y=sin2x är uppgiften jag ska lösa.

Jag har jobbat mig igenom det likt lösningen nedan. Det tar dock stopp vid sista stycket där partikulärlösningen till y ska tas fram. Vad innebär det att hjälplösningen svarar mot högerledet i ekvationen vi vill lösa? Varför går det då att dra slutsatsen att y_p=-1/4xcos2x?

Du förstår att:

$e^{i2x} = \cos(2x)+i\sin(2x)$

Är du med på att imaginärdelen av ovan är lika med differentialekvationens högerled?

Någon smart person har kommit på att om högerledet i en inhomogen differentialekvation har formen $\sin(2x)$ kan man ansätta:

$y''+4y=e^{i2x}$

$y(x)=e^{i2x}z(x)$

Om du då deriverar ovan två gånger och sätter in i differentialekvationen kan du få en ny differentialekvation i $z$ som är enkel att lösa (t.ex separabel).

Men, denna lösning motsvarar ju:

$y''+4y = \cos(2x)+i\sin(2x)$

Därmed måste du ta ut imaginärdel av den. Detta för att matcha med din ursprungliga ekvation. Detta ger din partikulärlösning.

Svara