3 svar
317 visningar
Annna12345 66
Postad: 5 mar 2020 21:57

Partikulärlösning

Hej har haft ett litet problem med frågan som lyder y''+4y=1+cos2x.

Har hittils fått att y=(c1cos2x+c2sin2x) men vet inte vilken metod jag ska använda. Tack för svar.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 5 mar 2020 22:11 Redigerad: 5 mar 2020 22:17

Du har fått fram den  homogena lösningen yH(x)y_H(x), dvs lösningen till y''+4y=0y''+4y=0.

Återstår den inhomogena lösningen.

Högerledet består av två termer: en konstant och en cosinus.

Ansats 1: y1(x)=Ky_1(x)=K. Derivera och sätt in i urspr. ekvation.

Ansats 2 (komplex): y2(x)=z(x)·ei·2xy_2(x)=z(x)\cdot e^{i\cdot 2x}. Notera att vi söker Re(y2)Re(y_2). Observera att cosinustermen i HL återfinns i den homogena lösningen. Du får lite modifieringar att göra längs vägen.

Slutligen: Allmän lösning y(x)=yH(x)+y1(x)+y2(x)y(x)=y_H(x)+y_1(x)+y_2(x).

Annna12345 66
Postad: 5 mar 2020 22:14

aa men vilken metod ska jag använda nu

SaintVenant Online 3936
Postad: 6 mar 2020 04:13 Redigerad: 6 mar 2020 04:14
Annna12345 skrev:

aa men vilken metod ska jag använda nu

Som dr_lund skrev:

Högerledet består av två termer: en konstant och en cosinus.

Ansats 1: y1(x)=Ky_{1}(x)=K. Derivera och sätt in i urspr. ekvation.

Detta betyder att du försöker lösa differentialekvationen y''+4y=1. Detta gör du genom att gissa en lösning annars kallat att du gör en ansats. Denna gissning är lämpligast y1(x)=Ky_{1}(x)=K där KK är någon konstant. Du kan nu beräkna:

y1(x)=Ky1'(x)=0y1''(x)=0

Vad får du om du stoppar in detta i y''+4y=1?

Ansats 2: (komplex): y2(x)=z(x)·ei·2xy_{2}(x)=z(x) \cdot e^{i \cdot 2x}

Detta betyder att du försöker lösa y''+4y=cos2x. Här håller inte jag med om ansatsen då jag tycker den är onödig men dr_lund kan säkert gå igenom detta tillvägagångssätt. Jag sätter min fortsatta lösning under spoiler.

Lösning

Jag skulle börjat med den traditionella ansatsen för trigonometriskt högerled:

y2(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)

Om du nu tittar på denna ser du att den är identisk till din homogena lösning. Det man gör då är att man istället ansätter:

y2(x)=xAcos(2x)+Bsin(2x)

Alltså att man multiplicerar usprungsansatsen med x. Du kan nu beräkna:

y2(x)=xAcos(2x)+Bsin(2x)y2'(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)-2Axsin2x+2Bxcos2xy2''(x)=-2Asin(2x)+2Bcos(2x)-2Asin2x-4Axcos2x+2Bcos2x-4Bxsin2xy2''(x)=cos2x4B-4Ax-sin2x4A+4Bx

Detta ger om vi stoppar in i differentialekvationen för vår partikulärlösning:

y''+4y=cos2xcos2x4B-4Ax-sin2x4A+4Bx+4xAcos(2x)+Bsin(2x)=cos(2x)

Vi samlar cosinus- och sinus-termer:

cos2x4B-sin2x4A=cos(2x)

Vi ser genast att vi har:

A=0; B=14

Detta ger att vår partikulärlösning är:

y2(x)=x4sin2x

Svara
Close