Partikulärlösning
Hej har haft ett litet problem med frågan som lyder y''+4y=1+cos2x.
Har hittils fått att y=(c1cos2x+c2sin2x) men vet inte vilken metod jag ska använda. Tack för svar.
Du har fått fram den homogena lösningen , dvs lösningen till .
Återstår den inhomogena lösningen.
Högerledet består av två termer: en konstant och en cosinus.
Ansats 1: . Derivera och sätt in i urspr. ekvation.
Ansats 2 (komplex): . Notera att vi söker . Observera att cosinustermen i HL återfinns i den homogena lösningen. Du får lite modifieringar att göra längs vägen.
Slutligen: Allmän lösning .
aa men vilken metod ska jag använda nu
Annna12345 skrev:aa men vilken metod ska jag använda nu
Som dr_lund skrev:
Högerledet består av två termer: en konstant och en cosinus.
Ansats 1: . Derivera och sätt in i urspr. ekvation.
Detta betyder att du försöker lösa differentialekvationen . Detta gör du genom att gissa en lösning annars kallat att du gör en ansats. Denna gissning är lämpligast där är någon konstant. Du kan nu beräkna:
Vad får du om du stoppar in detta i ?
Ansats 2: (komplex): .
Detta betyder att du försöker lösa . Här håller inte jag med om ansatsen då jag tycker den är onödig men dr_lund kan säkert gå igenom detta tillvägagångssätt. Jag sätter min fortsatta lösning under spoiler.
Lösning
Jag skulle börjat med den traditionella ansatsen för trigonometriskt högerled:
Om du nu tittar på denna ser du att den är identisk till din homogena lösning. Det man gör då är att man istället ansätter:
Alltså att man multiplicerar usprungsansatsen med x. Du kan nu beräkna:
Detta ger om vi stoppar in i differentialekvationen för vår partikulärlösning:
Vi samlar cosinus- och sinus-termer:
Vi ser genast att vi har:
Detta ger att vår partikulärlösning är: