Partikulärlösning

Vad får du om du provar

$y_p(x) = C \sin(x) + D \cos(x)$

?

Dr. G skrev:

Vad får du om du provar

$y_p(x) = C \sin(x) + D \cos(x)$

?

 Insåg nyss att jag skrivit fel i OP.

Ska vara y"-3y'+2y.

Kommer detta påverka ansättningen?

Får iaf med din ansättning och insättning i grundekvationen y"-3y'+2y:

Csinx + Dcosx - 3Ccosx +3Dsinx. Hur går jag vidare härifrån? 

Vad stod det från början?

Prova ansättningen som jag skrev ändå.

Dr. G skrev:

Vad stod det från början?

Prova ansättningen som jag skrev ändå.

 Jag utgår ifrån ekvationen y"-3y'+2y = sinx

Med din ansättning får jag Csinx + Dcosx - 3Ccosx +3Dsinx. Känns som om jag inte direkt kommer vidare med den. 

Provade ansättningen yp= z*e^ix

yp' = e^ix (z + zi)

yp" = e^ix ( z" + 2z'i - z)

Får efter insättning i grundekvationen:

e^ix(z"+ 2z'i - z - 3z' - 3zi +2z) = e^ix

Förenklar det genom division.

z"+ 2z'i + z - 3z' - 3zi = 1

Sätter z = A

Får då kvar A-3Ai = 1

A = (1/1-3i)

Förlänger med konjugat

A = 1+3i/10.

Sen vet jag inte riktigt vad jag ska göra med detta 

Schnehest skrev:

Dr. G skrev:

Vad stod det från början?

Prova ansättningen som jag skrev ändå.

 Jag utgår ifrån ekvationen y"-3y'+2y = sinx

Med din ansättning får jag Csinx + Dcosx - 3Ccosx +3Dsinx. Känns som om jag inte direkt kommer vidare med den. 

 Följande gäller:

$VL=\sin x·f(C,D)+\cos x·g(C,D)=\sin x·1+\cos x·0=HL$

Alltså fås ett linjärt ekvationssystem:

$f(C,D)=1$

$g(C,D)=0$

Detta är smidigare än en ansats med komplex partikulärlösning.

tomast80 skrev:

Schnehest skrev:

Visa föregående citat

Dr. G skrev:

Vad stod det från början?

Prova ansättningen som jag skrev ändå.

 Jag utgår ifrån ekvationen y"-3y'+2y = sinx

Med din ansättning får jag Csinx + Dcosx - 3Ccosx +3Dsinx. Känns som om jag inte direkt kommer vidare med den. 

 Följande gäller:

$VL=\sin x·f(C,D)+\cos x·g(C,D)=\sin x·1+\cos x·0=HL$

Alltså fås ett linjärt ekvationssystem:

$f(C,D)=1$

$g(C,D)=0$

Detta är smidigare än en ansats med komplex partikulärlösning.

Aldrig sett din metod innan. Kan du vara snäll och förklara den lite? 

Se exempel här:

http://www.maths.lth.se/matematiklth/personal/mickep/analysA3Mvt11/partikular.pdf

Återkom ifall du har några ytterligare frågor.

Min lösning ser svårare ut än den är, det blir ett vanligt linjärt ekvationssystem.

Hej!

Det är olämpligt att ansätta den komplexvärda funktionen $y(x) = z(x)e^{ix}$ eftersom du söker efter reellvärda lösningar till differentialekvationen. 

Gör därför som tidigare föreslagits ansatsen $y(x) = C\sin x + D \cos x$ för lämpliga konstanter $C$ och $D$.

Derivera denna ansats två gånger för att få funktionerna $y'$ och $y''$ och sätt in dem i differentialekvationen

    $y''(x)-3y'(x)+2y(x) = \sin x.$

Notera sedan att vänsterledet ska vara lika med högerledet för alla x, vilket låter dig bestämma konstanterna $C$ och $D$.

Om allt går som det ska bör ansatsen ge dig partikulärlösningen

    $y(x) = \frac{1}{10}(\sin x + 3\cos x).$

Albiki skrev:

Hej!

Det är olämpligt att ansätta den komplexvärda funktionen $y(x) = z(x)e^{ix}$ eftersom du söker efter reellvärda lösningar till differentialekvationen. 

Gör därför som tidigare föreslagits ansatsen $y(x) = C\sin x + D \cos x$ för lämpliga konstanter $C$ och $D$.

Derivera denna ansats två gånger för att få funktionerna $y'$ och $y''$ och sätt in dem i differentialekvationen

    $y''(x)-3y'(x)+2y(x) = \sin x.$

Notera sedan att vänsterledet ska vara lika med högerledet för alla x, vilket låter dig bestämma konstanterna $C$ och $D$.

 Csinx + Dcosx - 3Ccosx +3Dsinx får jag i VL efter ansättning. Vet inte hur jag ska gå vidare efter detta. 

Är du säker att man är ute efter realdelen? Sinx står ju för imaginärdelen?

Om du tillämpar den metod som föreslagits får du då:

$VL=\sin x \cdot (C+3D)+\cos x \cdot (D-3C) =$

$\sin x \cdot 1+\cos x \cdot 0=HL$

Vad ger det för värden på $C$ och $D$?

Har du någon anledning att tro att diffekvationen har någon annan definitionsmängd än rella tal?

Om man har en funktion som blir nånting med sinus och/eller cosinus när den har deriverats en eller två gåger, så kan det ha varit någon sinus- eller cosinusfunktion från början (och eventuellt kan man ha deriverat bort någon konstant på vägen).

Du vet att Csinx + Dcosx - 3Ccosx +3Dsinx =sinx. Det betyder att du har ekvaionssystemet $\left\{\begin{array}{l}C+3D=1\\ D-3C=0\end{array}\right.$, första raden är sinustermerna, andra raden är cosinustermerna.

Om du har en ekvation på formen 

$y''+p(t)y'+q(t)y = g(t)$ 

och $y_1$ och $y_2$ utgör en fundamental lösningsmängd till den homogena ekvationen så fås partikulärlösningen som

$y_p = -y_1(t) \int_{t_0}^t \frac{y_2(s)g(s)}{W(y_1,y_2)(s)} ds +y_2(t)\int_{t_0}^t \frac{y_1(s)g(s)}{W(y_1,y_2)(s)} ds$

där $W(y_1,y_2)(s)$ är Wronskianen. Eftersom alla $y_1(t)$, $y_2(t)$ och $g(t)$ är reella i ditt fall så måste även partikulärlösningen vara det.

Jag vet inte om detta kanske är lite överkurs men det kanske övertygar om att lösningen måste vara reell i alla fall.

EDIT: Tanken är inte att du skall hitta partikulärlösningen med metoden ovan, jag ville bara belysa att man KAN göra det och det motiverar hur lösningen måste se ut. Vanligtvis så är det oftast lättare att bara ansätta något och prova om det fungerar, som vi gör i inläggen ovan.

tomast80 skrev:

Om du tillämpar den metod som föreslagits får du då:

$VL=\sin x \cdot (C+3D)+\cos x \cdot (D-3C) =$

$\sin x \cdot 1+\cos x \cdot 0=HL$

Vad ger det för värden på $C$ och $D$?

Tror jag fått rätt på det :)

Tack alla som tagit sig tid. God fortsättning!