Partikulär lösning - Ansats

Om man har $y'' + y' - 2 y = e^{x}$

Vad ska man ansätta för den partikulära lösningen?

$A e^{x}$ ? $A x e^{x}$ ?

Jag kan köpa första ansatsen, men inte andra (om det nu finns en sådan ansats).

Varför ställer du frågan? Du kan bara testa:

Första ansats

$y = A e^{x} y' = A e^{x} y'' = A e^{x}$

Detta ger:

$A e^{x} + A e^{x} - 2 A e^{x} = 0$

Anledningen att detta blir noll är för att detta är en av termerna i den homogena lösningen, det är inte en partikulärlösning.

Andra ansats

$y = A x e^{x} y' = A e^{x} + A x e^{x} y'' = 2 A e^{x} + A x e^{x}$

Detta ger:

$2 A e^{x} + A x e^{x} + A e^{x} + A x e^{x} - 2 A x e^{x} = 3 A e^{x}$

Alltså har vi att om $A = 1 / 3$ har vi en partikulärlösning.

Tack Ebola!! Nu känns det som att jag behärskar differential ekvationer riktigt bra!

Svara