Partikulär lösning?

Hej!

Eftersom det är en linjär differentialekvation av första ordningen kan du lösa den med hjälp av en integrerande faktor.

    $y'(x) + 1 \cdot y(x) = \sin x\ .$

Här är det integrerande faktorn lika med $e^{\int 1\,\text{d}x} = e^{x}.$

    $y'(x)e^{x} + y(x) e^{x} = e^{x}\sin x.$

Med hjälp av Produktregeln för derivering kan ekvationen skrivas

    $(y(x)e^{x})' = e^{x}\sin x$.

Integrera denna ekvation.

    $y(x)e^{x} = C + \int e^{x}\sin x \,\text{d}x.$

Resultatet blir att

    $y(x) = Ce^{-x} + e^{-x}\int e^{x}\sin x \,\text{d}x.$

Det återstår bara att bestämma integralen $\int e^{x}\sin x \,\text{d}x.$

Albiki

Hej Albiki!

Tack för att det långa svaret, hoppas du inte blir upprörd nu när jag säger att jag aldrig har hört talats om integrerande faktor och min lärare har inte nämnt något om det. Jag följer boken som jag visade i första inlägget. Jag vet inte ifall min lärare skulle tycka om integrerande faktor, om hon exempelvis söker att man löser det som boken. Känner mig så dålig som låter dig skriva långa inlägg, jag kommer såklart försöka förstå integrerande faktor (det är trots allt bra till universitet sen), men jag skulle gärna uppskatta ifall man kunde lösa det på ett enklare sätt kanske? :)

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}+y=\sin x har y_p=A\sin x+B\cos x där A och B är kons\tan ta som bör avgöras \\ y{\text{'}}_p+y_p=\sin x \\ A\cos x-B\sin x+A\sin x+B\cos x=\sin x \Rightarrow \\ (A+B)\cos x+(A-B)\sin x=\sin x \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A+B=0\\ A-B=1\end{array}\right.\Rightarrow A=\frac{1}{2} B=\frac{-1}{2} \\ så att y_p=\frac{1}{2} \sin x-\frac{1}{2} \cos x \\ Nu drar vi ut lösningen till y^{\text{'}}+y=0 alltå y_h \\ y_h=C{e}^{-x} \\ Den allmänna svaret: y_A=y_h+y_p=C{e}^{-x}+\frac{1}{2} \sin x-\frac{1}{2} \cos x \end{gathered}$$