Partikels hastighet efter en tidsberoende kraft
En partikel med massan m kan röra sig i en dimension. Den är i vila vid tiden t = 0, och påverkas därefter av en tidsberoende kraft F(t) = F0e-at, där F0 och a är konstanter. För stora tider närmar sig partikelns fart ett visst värde. Ange detta.
Eftersom accelerationen a = F/m, följer det att
a(t) = F(t)/m.
Jag tänker att hastigheten är integralen av accelerationen. Dvs
v(t) = int(a(t)) från 0 till t
Detta fick jag till:
F0(e-at-1)/(-am)
Då frågan handlar om väldigt stora tider tar jag gränsvärdet t -> oändligheten, men jag kan inte se hur jag skulle kunna förenkla ekvationen ytterligare.
Rätt svar är F0/am.
Jag kan se att min beräkning blir rätt givet att a > 0, men jag vet inte hur man kan dra den slutsatsen, eller om det finns någon förenkling jag missat.
Gränsvärde av ditt uttryck för hastigheten är ju lika med facit.
Jag förstår inte frågan.
Vad händer med e-at då t går mot oändligheten?
Pieter Kuiper skrev:Gränsvärde av ditt uttryck för hastigheten är ju lika med facit.
Jag förstår inte frågan.
Antag att a = -1
då blir e-at = et
t -> oändlighet => et = oändlighet
Missar jag något?
PATENTERAMERA skrev:Vad händer med e-at då t går mot oändligheten?
Om a > 0 går det mot 0
Om a = 0 är det 1
Om a < 0 går det mot oändligheten
oberoende skrev:Pieter Kuiper skrev:Gränsvärde av ditt uttryck för hastigheten är ju lika med facit.
Jag förstår inte frågan.Antag att a = -1
då blir e-at = et
t -> oändlighet => et = oändlighet
Missar jag något?
Konstanten a är positiv eftersom det är givet att farten har ett gränsvärde.
Dessutom är det alltid underförstått när man skriver det som e-at.
Du har härlett uttrycket för a(t), och du vill använda sambandet att v(t) är "arean under a(t)-grafen".
Bra! Du har listat ut det allra viktigaste, återstår bara lite råräkning där du inte kom hela vägen.
Hur räknar man ut arean under grafen mellan tiden och ?
Pieter Kuiper skrev:oberoende skrev:Pieter Kuiper skrev:Gränsvärde av ditt uttryck för hastigheten är ju lika med facit.
Jag förstår inte frågan.Antag att a = -1
då blir e-at = et
t -> oändlighet => et = oändlighet
Missar jag något?Konstanten a är positiv eftersom det är givet att farten har ett gränsvärde.
Dessutom är det alltid underförstått när man skriver det som e-at.
Du har rätt i att a > 0 för att hastigheten ska närma sig ett visst värde, vilket är givet i uppgiften. Det tänkte jag inte på.
När brukar e-at användas, där a > 0 är underförstått? Jag är bara nyfiken.
JohanF skrev:Du har härlett uttrycket för a(t), och du vill använda sambandet att v(t) är "arean under a(t)-grafen".
Bra! Du har listat ut det allra viktigaste, återstår bara lite råräkning där du inte kom hela vägen.
Hur räknar man ut arean under grafen mellan tiden och ?
Problemet var att hastigheten, v(t), hade olika gränsvärden beroende på om
a > 0
eller
a < 0.
Som någon annan påpekade måste a > 0, eftersom a < 0 leder till ett oändligt gränsvärde, vilket motsäger uppgiften: "För stora tider närmar sig partikelns fart ett visst värde.".
Jo, det var undersförstått från hur frågan var formulerad. Man kan ju tänka som så att om konstanten a varit negativ så skulle kraften och accelerationen växa utom alla gränser. Vilket inte är ett speciellt realistiskt fysikaliskt scenario.
oberoende skrev:
När brukar e-at användas, där a > 0 är underförstått? Jag är bara nyfiken.
Det är vanligt i fysik. Man ser omedelbart framför sig en exponentiellt avtagande kurva. Därför fattade jag inte frågan.
Med eiωt ser jag en odämpad oscillation. Jag vet att man i vissa sammanhang kan ha att ω är ett komplext tal, men om inget annat sägs antar man att ω är ett reellt positivt tal.
