Partikel i klot

Om partikelns läge är likformigt fördelad på volymen i ett klot borde det väl vara lika stor volym utanför som innanför väntevärdet?

CurtJ skrev:

Om partikelns läge är likformigt fördelad på volymen i ett klot borde det väl vara lika stor volym utanför som innanför väntevärdet?

Det är ju inte lika mycket volym för ett klot med radie = 3, som skalet till ett klot alltså volymen av av differensen klot_volym_radie_6 - klot_volym_radie_3?

Nej det har du rätt i, så vid vilken radie är det lika stor volym innanför som utanför?

CurtJ skrev:

Nej det har du rätt i, så vid vilken radie är det lika stor volym innanför som utanför?

JAHA! du är ju toppen, det blev verkligen blixt logiskt där. 

Så det jag gör är alltså att lösa ut volymen först för r=6; sedan dividera den volymen och löser ut nya r.

Den nya r är alltså svaret menar du?

Nej inte riktigt.. det du ska göra är att sätta ett R som du söker och sätta ett uttryck för volymen innanför R och volymen utanför R och sätta dem lika. Obs att volymen utanför INTE är volymen från origo till yttre radien.

CurtJ skrev:

Nej inte riktigt.. det du ska göra är att sätta ett R som du söker och sätta ett uttryck för volymen innanför R och volymen utanför R och sätta dem lika. Obs att volymen utanför INTE är volymen från origo till yttre radien.

Menar du något såhär: $\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi {(r-R)}^3}{3}$?

Ja det är rätt om du med r menar hela klotets radie och R den radie du söker. Jag skulle kanske bytt plats på dem, jag brukar använda gemener för sånt jag inte vet och versaler för kända värden. Men det är personligt. Bara svaret blir rätt.

CurtJ skrev:

Ja det är rätt om du med r menar hela klotets radie och R den radie du söker. Jag skulle kanske bytt plats på dem, jag brukar använda gemener för sånt jag inte vet och versaler för kända värden. Men det är personligt. Bara svaret blir rätt.

Ok. precis r är hela radien. (Jag har svaret på samma uppgift, fast där radien av klotet är 3, inte 6.) 

$$\begin{gathered} \frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi {(r-R)}^3}{3} \\ => R^3={(r-R)}^3 <=>R=r-R<=>2R=r<=>R=r/2. \end{gathered}$$Inte rätt tyvärr? kanske har jag slarvet 

Ja du har slarvat. (r-R)³ är inte volymen av klotet utanför  R

Jag skulle ställa upp relationen såhär med ditt val av beteckningar

$$\begin{gathered} \frac{4\pi R^3}{3}=\hspace{0.17em}\frac{4\pi r^3}{3}-\frac{4\pi R^3}{3} \\ \Rightarrow R^{3 } = r^3 -R^3 \\ \Rightarrow 2R^3 =\hspace{0.17em}{r}^3 \\ \Rightarrow R^3 =\hspace{0.17em}\frac{r^3}{2} =\hspace{0.17em}\frac{6^3}{2} \\ R = \frac{6}{2^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}}} \end{gathered}$$

CurtJ skrev:

Ja du har slarvat. (r-R)³ är inte volymen av klotet utanför  R

 

Jag skulle ställa upp relationen såhär med ditt val av beteckningar

$$\begin{gathered} \frac{4\pi R^3}{3}=\hspace{0.17em}\frac{4\pi r^3}{3}-\frac{4\pi R^3}{3} \\ \Rightarrow R^{3 } = r^3 -R^3 \\ \Rightarrow 2R^3 =\hspace{0.17em}{r}^3 \\ \Rightarrow R^3 =\hspace{0.17em}\frac{r^3}{2} =\hspace{0.17em}\frac{6^3}{2} \\ R = \frac{6}{2^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}}} \end{gathered}$$

Detta är det jag gjorde innan (gången före slarvet). Dock är detta fortfarande fel. Om vi kollar på samma uppgift, fast att vi har radien = 3. då ska vi få den nya till R=2.25

Om det är jämn fördelning över klotets volym så är väntevärdet medelvärdet över volymen och då är det lika stor volym under som över väntevärdet. Det går bara att beräkna på det sättet jag beskrivit och för ett klot med radien=6 blir väntevärdet 4.76 och för klot med radien=3 så blir väntevärdet hälften av det, dvs 2.38.

Jag har svårt att se att det skulle kunna bli annorlunda men är mottaglig för argument. Jag har haft fel förr :)

CurtJ skrev:

Om det är jämn fördelning över klotets volym så är väntevärdet medelvärdet över volymen och då är det lika stor volym under som över väntevärdet. Det går bara att beräkna på det sättet jag beskrivit och för ett klot med radien=6 blir väntevärdet 4.76 och för klot med radien=3 så blir väntevärdet hälften av det, dvs 2.38.

Jag har svårt att se att det skulle kunna bli annorlunda men är mottaglig för argument. Jag har haft fel förr :)

Jag håller med om din logik. En kompis till mig löste tydligen den genom att integrera variansen*x. 

Hur bestämmer man variansen i detta fall?

Variansen i en likformig fördelning definieras som (b-a)²/12 där b är över gränsen på intervallet och a den undre. I det här fallet är det volymen som är stokastisk variabel och den går följaktligen från a=0 till b=4*pi*6³/3 . Hur man använder det för att komma fram till väntevärdet kan jag inte förstå. Vad integrerade kompisen över? Vilken variabel och vilka gränser?

CurtJ skrev:

Variansen i en likformig fördelning definieras som (b-a)²/12 där b är över gränsen på intervallet och a den undre. I det här fallet är det volymen som är stokastisk variabel och den går följaktligen från a=0 till b=4*pi*6³/3 . Hur man använder det för att komma fram till väntevärdet kan jag inte förstå. Vad integrerade kompisen över? Vilken variabel och vilka gränser?

$Väntevärde\hspace{0.17em}= {\int }_0^{3}z\frac{3z^2}{3^3}dz,$

Vad är z och var kommer formeln från?

CurtJ skrev:

Vad är z och var kommer formeln från?

Hej, tack för allt hjälp. Jag löste det nu, det fanns ett liknande exempel i boken fast för 2d. Nu har vi 3d.

Om du är intresserad av lösningen kommer den iallafall här:

låt $(X_1,X_2,X_3)$vara positionen där partikeln hamnar. Avstånden mellan partikeln och origo beskrivs: $$\begin{gathered} \zeta =\sqrt{{X^2}_1+{X^2}_2+{X^2}_3}. \\ Först bestämmer vi förde\ln ingsfunktionen för \\ P(\zeta \le z)=P\left(\right(X_1,X_2,X_3)\in \zeta ) för 0\le z\le 3. \\ pga likformigt fördelad: P(\zeta \le z)=P\left(\right(X_1,X_2,X_3)\in \zeta )=\frac{C_Z}{C_3}=\frac{{\displaystyle \frac{4\pi z^3}{3}}}{\frac{4\pi 3^3}{3}}=\frac{z^3}{3^3} \\ Frekvensfunktionen blir: f_{\zeta }\left(z\right)=F{\text{'}}_{\zeta }\left(z\right)=\frac{z^2}{3^2} \\ vänevärde ges av: {\int }_0^{3}z\times f_{\zeta }\left(z\right)dz={\int }_0^3\frac{z^3}{3^2}dz=2.25 \end{gathered}$$