partiella differentialekvationer av andra ordning

Uppgift:

Bestäm alla lösningar till $x \frac{σ^{2} f}{σ x^{2}} - y \frac{σ^{2} f}{σ x σ y} + \frac{σ f}{σ x} = 0$ , m.h.a införa den nya variablerna $\{\begin{cases} u = y \\ v = x y \end{cases}, y \neq 0$

Min lösning:

svar i facit:

$f (x, y) = g (y) + h (x y)$ , där g och h är två ggr kontinuerligt deriverbara funktioner av en variabel

Ditt $f'_x$ innehåller faktorn y, men det y:et verkar saknas när du beräknar andraderivatorna =)

Skaft skrev:
Ditt $f'_x$ innehåller faktorn y, men det y:et verkar saknas när du beräknar andraderivatorna =)

Ja, det är sant. Nu får jag det till, vilket stämmer

men om sista termen hade varit $f''_{u u}$ eller $f''_{v v}$ hade premetiven varit

$f''_{v v} = 0 \to f'_{v} = g (x y) \to f = g (x y) + g (x y)$

eller hade det blivit mer komplicerat?

Nja, tänk på vad som försvinner i deriveringssteget. Det beror på vilken variabel man deriverar med avseende på.

Om ekvationen du kommit fram till var $f''_{vv} = 0$ , då har man alltså deriverat funktionen $f'_v$ med avseende på v, och fått noll. Vilka sorters funktioner deriveras till noll, om v är variabeln? Jo, funktioner som inte använder v. Dvs, konstanter, eller mer generellt: funktioner av u (en konstant funktion kan också sägas vara en funktion av u). Så: $f'_v = g(u)$ .

Sen försöker vi backa ett steg till. En funktion har deriverats med avseende på v, och blivit g(u). Hur kan den ursprungliga funktionen sett ut? Jo, eftersom v är variabeln, fungerar g(u) som en konstant. Eftersom den kvarstår efter derivering, måste det varit en koefficient till v. Dessutom kan det funnits en annan funktion av u, som försvann i deriveringen. Så: $f = vg(u) + h(u)$ (kontrollderivera gärna). Så, i det fallet borde du få f(x,y) = xy*g(y) + h(y), om jag inte tänker fel.

Svara

Visa senaste svar