Partiella differentialekvationer: variabelseparation(??)

Hej, jag har sett detta på pluggakuten och på nätet, men jag vet inte vad det kallas.

Situationen är att nån funktions andraderivata delat på sig själv minus en annan funktions andraderivata delat på sig själv är noll. Sen är argumentet att eftersom funktionerna är av olika variabler så måste båda bråken vara lika med varandra och lika med en konstant. Då tror jag man har omvandlat en PDE till två stycken ODE, eller nåt sånt.

Vad kallas detta? Är det ett typproblem eller lösningsmetod eller vad?

Hej!

Hmm, tänker du på (utan randvillkor) något i stilen med att försöka lösa en PDE typ $u_{t}=c\cdot u_{xx}$ ?

I så fall kan vi göra en ansats $u\left(x,t\right)=X\left(x\right)T\left(t\right)$ . Då får vi:

$X\left(x\right)T'\left(t\right)=c\cdot X''\left(x\right)T\left(t\right)$ . Om vi skriver om detta får vi

$\frac{T'\left(t\right)}{T\left(t\right)}=c\cdot\frac{X''\left(x\right)}{X\left(x\right)}$ . Eftersom VL inte har något $x$ beroende och HL inte har något $t$ beroende, och dessa är lika för alla värden på $x$ och $t$ , så måste de vara lika med en konstant, säg $\lambda$ . Alltså

$\frac{T'\left(t\right)}{T\left(t\right)}=c\cdot\frac{X''\left(x\right)}{X\left(x\right)}=\lambda$ .

Sen kan man börja med att lösa en av dom, exempelvis $\frac{T'\left(t\right)}{T\left(t\right)}=\lambda$ . Då har vi en ODE istället.

Du borde kunna söka på typ "method of separation of variables".

Sådana här typer av uppgifter kom upp i en kurs i Fourieranalys för mig.

Just det exakt det! Ah det kallades visst det jag gissade, trevligt.

Tack!

Svara