partiella differentialekvationen

Hej,

Variabelbytet ger till att börja med $x=(u+v)/2$ och $y^2=(u-v)/16$ och sedan första-derivationsoperatorerna (som även du beräknat)

    $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial u}+\frac{\partial}{\partial v}\\\frac{\partial}{\partial y}=\frac{4}{\sqrt{u-v}}\cdot (\frac{\partial}{\partial u}-\frac{\partial}{\partial v}).$

Med hjälp av Kvadreringsregeln och Konjugatregeln blir de blandade andra-derivationsoperatorerna därför

    $\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}+2\frac{\partial^2}{\partial u \partial v}\\\frac{\partial^2}{\partial y^2}=\frac{16}{u-v}\cdot(\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}-2\frac{\partial^2}{\partial u\partial v})\\\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} = -\frac{6}{(u-v)^{1.5}}\cdot (\frac{\partial }{\partial u}-\frac{\partial}{\partial v})+\frac{4}{\sqrt{u-v}}\cdot(\frac{\partial^2}{\partial u^2}-\frac{\partial^2}{\partial u\partial v})+\frac{6}{(u-v)^{1.5}}\cdot(\frac{\partial }{\partial u}-\frac{\partial}{\partial v})+\frac{4}{\sqrt{u-v}}\cdot(\frac{\partial^2}{\partial v\partial u}-\frac{\partial^2}{\partial v^2})$

Den blandade operatorn förenklas till

    $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} = \frac{4}{\sqrt{u-v}}(\frac{\partial^2}{\partial u^2}-\frac{\partial^2}{\partial v^2}).$

Hmm förlåt men jag hänger inte med riktigt? 

Nu har jag inte kollat om du räknat rätt hittills, utan bara integrerat och bytt tillbaka till x och y, men ser inte ut att bli som i facit riktigt 🤔

alexander19961 skrev:

Hmm förlåt men jag hänger inte med riktigt? 

Vad hänger du inte med på?

Den givna differentialekvationen motsvaras av ekvationen $P(z)(x,y) = 0$ där derivationsoperatorn $P$ är 

    $P=2\frac{\partial^2}{\partial x^2}-2y\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial}{\partial y}$

som uttryckt i $(u,v)$-variablerna blir 

    $P=2\frac{\partial^2}{\partial u^2}+2\frac{\partial^2}{\partial v^2}+4\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}-\frac{8}{u-v}\cdot(\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}-2\frac{\partial^2}{\partial u\partial v})-\frac{4}{\sqrt{u-v}}\cdot(\frac{\partial}{\partial u}-\frac{\partial}{\partial v})$ 

Mina beräkningar blev verkligen grötiga, förmodligen på grund av att jag schabblade vid variabelbytet.

Om man utgår från att $x=(u+v)/2$ och $y=(u-v)^2/16$ så blir första-derivationerna

    $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial u}+\frac{\partial}{\partial v}\\\frac{\partial}{\partial y} = \frac{4}{u-v}\cdot(\frac{\partial}{\partial u}-\frac{\partial}{\partial v}).$

Andra-derivationerna blir

    $\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}+2\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}$

samt den besvärliga y-derivatan

    $\frac{\partial^2}{\partial y^2} = \frac{16}{(u-v)^2}\frac{\partial^2}{\partial u^2} +\frac{16}{(u-v)^2}\frac{\partial^2}{\partial v^2}-\frac{32}{(u-v)^2}\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}-\frac{32}{(u-v)^3}\frac{\partial}{\partial u}+\frac{32}{(u-v)^3}\frac{\partial}{\partial v}.$

Tillsammans transformerar de den givna (x,y)-partiella differentialekvationen till den mycket enklare (u,v)-ekvationen 

    $\frac{\partial^2z(u,v)}{\partial u\partial v} = 0$

vilket ger att $\frac{\partial z}{\partial v} = f(v)$ där $f$ är en godtyckligt deriverbar funktion, och slutligen att $z(u,v) = F(v) + g(u)$ där $F$ är integral av $f$, och $g$ är en godtycklig deriverbar funktion.

Den ursprungliga ekvationens lösningar är därför alla två gånger kontinuerligt differentierbara funktioner som kan skrivas som en linjärkombination av två deriverbara funktioner.

    $z(x,y)=F(x+2\sqrt{y})+g(x-2\sqrt{y}).$

Albiki, tycker du det står rätt svar i facit?

Micimacko skrev:

Albiki, tycker du det står rätt svar i facit?

Ja, det tycker jag. Mina beräkningar verkar stämma med facit, men det är väldigt lätt att göra fel på sådana här uppgifter. Andraderivatan i y var verkligen en pärs, och det gäller att inte göra alltför många beräkningar i huvudet (vilket jag gjorde initialt tills det grötade ihop sig och jag fick ta till penna och papper för att reda ut röran).

Albiki skrev:

Micimacko skrev:

Albiki, tycker du det står rätt svar i facit?

Ja, det tycker jag. Mina beräkningar verkar stämma med facit, men det är väldigt lätt att göra fel på sådana här uppgifter. Andraderivatan i y var verkligen en pärs, och det gäller att inte göra alltför många beräkningar i huvudet (vilket jag gjorde initialt tills det grötade ihop sig och jag fick ta till penna och papper för att reda ut röran).

Men nu när du skrev svaret fick du samma som mig, facit har rötterna annorlunda.

Micimacko skrev:

Albiki skrev:

Visa föregående citat

Micimacko skrev:

Albiki, tycker du det står rätt svar i facit?

Ja, det tycker jag. Mina beräkningar verkar stämma med facit, men det är väldigt lätt att göra fel på sådana här uppgifter. Andraderivatan i y var verkligen en pärs, och det gäller att inte göra alltför många beräkningar i huvudet (vilket jag gjorde initialt tills det grötade ihop sig och jag fick ta till penna och papper för att reda ut röran).

Men nu när du skrev svaret fick du samma som mig, facit har rötterna annorlunda.

Nu ser jag vad du menar. Jag tror att det är skrivfel i facit när de skriver $\sqrt{2}y$ istället för $2\sqrt{y}$.

Jag undrar om Z_uv” samma sak som Z_vu”

Här ser ni den gula markerad på en uppgift 

Jag får 2x z_vu” + 2x z_uv” medan en annan som är lärare har skrivit sådär

Och fått 4v f_uv” .

Frågan är om 2x z_vu” + 2x z_uv” är samma eller har jag skrivit fel och att det ska vara som läraren 2x z_uv” + 2x z_uv” som blir 4x z_uv”.

Ja, så länge $z\in C^2$ är $z''_{uv}=z''_{vu}$.

okej och en till fråga  han har skrivit 4vf_uv" . men är det lugnt  om jag skriver då 4vf_vu", det spelar ingen roll väll

alexander19961 skrev:

okej och en till fråga  han har skrivit 4vf_uv" . men är det lugnt  om jag skriver då 4vf_vu", det spelar ingen roll väll

Nä, det spelar ingen roll, båda är ju lika med varandra!

Tusen tackkkk :D