Partiella derivator 3

Detta är inte lätt tycker jag.

Men efter första likhetstecknet har de bara deriverat med avseende på t, det är först i andraderivatan som de deriverar m a på s.

Nu tror jag att jag hittat ett sätt att komma åt detta. Det blir överskådligare för mig om jag väljer ett exempel. 

Låt f(x, y) = x⁴ y⁷ . Vi har redan x = t sin s och y = t cos s

Då fås df/dt  = df/dx  dx/dt + df/dy  dy/dt =

= 4x³ y⁷ sin s  +  x⁴ 7y⁶ cos s

Detta ska deriveras med avseende på s. Jag bryr mig bara om första termen här, den andra behandlas analogt.

d/ds ( 4x³y⁷ sins) = 4x³y⁷ cos s + [12x² y⁷ tcos s  + 4x³ 7y⁶ (–tsin s)] sin s 

Alltså,  d/ds ( 4x³ y⁷ sins) = f₁  * d/ds(dx/dt) +  [f₁₁ dx/ds + f₁₂ dy/ds ] * dx/dt 

eller

f₁ cos s  + f₁₁ t cos s sin s – f₁₂ t sin s sin s

Nu kan andra termen df/dy * dy/dt  deriveras med avseende på s efter samma mönster.

För mig underlättade det att ha x⁴ y⁷ som exempel. Men man behöver göra det själv för att se hur det funkar.

d/ds ( 4x³y⁷ sins) = 4x³y⁷ cos s + [12x² y⁷ tcos s  + 4x³ 7y⁶ (–tsin s)] sin s 

Förstår att x och y är funktioner av s. Du har inte inkluderat ett antal mellansteg antar jag?

Ja x = t sin s , y = t cos s

x och y är funktioner av s och t. 

Inkluderat mellansteg, vet inte riktigt vad du menar. 

Tänk på att derivatan av en produkt är

$\displaystyle\frac{\partial }{\partial s}(g\cdot h)=\frac{\partial g}{\partial s}\cdot h + g\cdot \frac{\partial h}{\partial s}$

Här har du en produkt av två funktioner $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x}\cdot  \frac{\partial x}{\partial t}=g\cdot h$

Den sista termen ger också en derivata:

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial }{\partial s}(\frac{\partial x}{\partial t})=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2 x}{\partial s \partial t}$

D4NIEL skrev:

Tänk på att derivatan av en produkt är

$\displaystyle\frac{\partial }{\partial s}(g\cdot h)=\frac{\partial g}{\partial s}\cdot h + g\cdot \frac{\partial h}{\partial s}$

Här har du en produkt av två funktioner $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x}\cdot  \frac{\partial x}{\partial t}=g\cdot h$

Den sista termen ger också en derivata:

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial }{\partial s}(\frac{\partial x}{\partial t})=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2 x}{\partial s \partial t}$

Tänkte inte på att x beror på s. Ska försöka lösa på nytt när jag har möjligheten. Tack ska du ha.

D4NIEL skrev:

Tänk på att derivatan av en produkt är

$\displaystyle\frac{\partial }{\partial s}(g\cdot h)=\frac{\partial g}{\partial s}\cdot h + g\cdot \frac{\partial h}{\partial s}$

Här har du en produkt av två funktioner $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x}\cdot  \frac{\partial x}{\partial t}=g\cdot h$

Den sista termen ger också en derivata:

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial }{\partial s}(\frac{\partial x}{\partial t})=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2 x}{\partial s \partial t}$

Har gjort ett nytt försök nu, hur ska jag tolka det markerat i rött(i den nya bilden)?

$f$ beror av $x(s,t)$ samt $y(s,t)$

$\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial^2f }{\partial x \partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$

Man kan ibland lite slarvigt skriva $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{11}$ osv

D4NIEL skrev:

$f$ beror av $x(s,t)$ samt $y(s,t)$

$\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial^2f }{\partial x \partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$

Förstår inte hur du får högerledet

Det är bara kedjeregeln, kanske blir det lättare om vi kallar $\frac{\partial f}{\partial x}$ något annat, t.ex. $h(x,y)$

$\frac{\partial h(x,y)}{\partial s}=\frac{\partial h}{\partial x}\frac{\partial x} {\partial s}+\frac{\partial h}{\partial y}\frac{\partial y} {\partial s}$

D4NIEL skrev:

Det är bara kedjeregeln, kanske blir det lättare om vi kallar $\frac{\partial f}{\partial x}$ något annat, t.ex. $h(x,y)$

$\frac{\partial h(x,y)}{\partial s}=\frac{\partial h}{\partial x}\frac{\partial x} {\partial s}+\frac{\partial h}{\partial y}\frac{\partial y} {\partial s}$

Tack ska du ha, känner att det sitter nu :)