Partiella derivator

Skulle behöva lite hjälp att klargöra denna uppgift:

"Låt f vara en 2 gånger deriverbar funktion av 3 variabler u,v,w och definiera

g(x,y,z) = f(x-y, y-z, z-x).

Beräkna uttrycket $\frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial z}$

och yttryck $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ i partiella derivator av f."

Min tolkning av uppgiften är att

u = x-y

v=y-z

w=z-x

och således att g(x,y,z) = f(u,v,w).

Detta torde medföra att $\frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}$ $= (1, 0, - 1) + (- 1, 1, 0) + (0, - 1, 1) = (0, 0, 0)$ .

Jag räknar alltså på vektorform och får nollvektorn. Enligt facit är summan noll. Är detta rätt förhållningssätt?

Den andra deluppgiften har jag svårt att ens tolka, men antar att det innebär något i stil med: "Andra partiella derivatan av g med avseende på x" .

Facit säger: $\frac{\partial 2 g}{\partial x^{2}} = \frac{\partial 2 f}{\partial u^{2}} + \frac{\partial 2 f}{\partial w^{2}} - 2 \frac{\partial 2 f}{\partial u \partial w}$

Notera att 2:orna i täljare står för partiell-derivatatecknet "i kvadrat".

Skulle uppskattas väldigt mycket om någon kunde förklara logiken bakom detta och hur man hanterar ett sånt här problem!

Tack!

Dina vektorer har vissa likheter med Jakobianen för transformationen, men notera att

$\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}$

är en skalär, inte en vektor.

Om du vill räkna med vektorer är uttrycket summan av vektorkomponenterna i uttrycket

$\nabla f_{u,v,w} J$

På b) uppgiften söks det första elementet i matrisen

$J^TH J$

Där H är Hessianen.

Jag tror dock inte det är tänkt att du ska räkna med "vektorer" och "matriser", utan beräkna de partiella derivatorna var för sig och addera dem.

På a) innebär det

$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}$

Osv.. Sedan blir summan noll

D4NIEL skrev:
Dina vektorer har vissa likheter med Jakobianen för transformationen, men notera att

$\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}$

är en skalär, inte en vektor.

Om du vill räkna med vektorer är uttrycket summan av vektorkomponenterna i uttrycket

$\nabla f_{u,v,w} J$

På b) uppgiften söks det första elementet i matrisen

$J^TH J$

Där H är Hessianen.

Jag tror dock inte det är tänkt att du ska räkna med "vektorer" och "matriser", utan beräkna de partiella derivatorna var för sig och addera dem.

På a) innebär det

$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}$

Osv.. Sedan blir summan noll

Tusen tack!!

Svara