Partiella andragradsderivator

Om $z = f (x, y)$ och $x=2s+3t$ och $y=3s-2t$ hitta $\frac{\partial^{2} z}{\partial s^{2}}$ .

Vad jag har gjort är följande

$\frac{\partial^{2} z}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} (\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}) = = (\frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial s}) \frac{\partial f}{\partial x} + (\frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial s}) \frac{\partial f}{\partial y} = = (\frac{\partial}{\partial s} 2) f_{1} + f_{2} (\frac{\partial}{\partial s} 3) = 0$

Chansar lite på andra raden där jag ska derivera ytterligare en gång. Att derivera en gång är inga problem dock.

$\frac{\partial}{\partial s} (\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial s})$ = (produkt) = $\frac{\partial}{\partial s} (\frac{\partial f}{\partial x}) \cdot \frac{\partial x}{\partial s}$ + $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial^{2} x}{\partial s^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial s} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial x}{\partial s}$ + $\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial s}$

PATENTERAMERA skrev:
$\frac{\partial}{\partial s} (\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial s})$ = (produkt) = $\frac{\partial}{\partial s} (\frac{\partial f}{\partial x}) \cdot \frac{\partial x}{\partial s}$ + $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial^{2} x}{\partial s^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial s} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial x}{\partial s}$ + $\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial s}$

Tack,

Jag är med på första raden men inte på andra. Vi ska alltså derivera derivatan av f (med avseende på x) med avseende på s. Det säger bara stopp för mig

Om f är en funktion av x och y, så är $\frac{\partial f}{\partial x}$ generellt också en funktion av x och y som vi kan kalla g.

Om nu x och y i sin tur är funktioner av s och t så har vi

$\frac{\partial g}{\partial s}$ = (kedjeregeln) = $\frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}$ . Stoppa sedan in att g = $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Om f är en funktion av x och y, så är $\frac{\partial f}{\partial x}$ generellt också en funktion av x och y som vi kan kalla g.

Om nu x och y i sin tur är funktioner av s och t så har vi

$\frac{\partial g}{\partial s}$ = (kedjeregeln) = $\frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}$ . Stoppa sedan in att g = $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

svårare än så var det inte, tack så jättemycket, du är en hjälte :)

Svara

Visa senaste svar