partiell integrering

I detta fall är det kanske ganska uppenbart att antingen så är $f\left(x\right)=x^3$eller $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$. Det man vill göra är ju att följa formeln för partiellintegration, och i den ska "den ena funktionen deriveras och den andra integreras". I detta fall vet vi ju att $\left(\ln \right(x\left)\right)\text{'}=\frac{1}{x}$, och därför blir det lätt att beräkna integralen om vi väljer att ha $\ln \left(x\right)$ som funktionen som ska deriveras (eftersom vi då kommer få en integral av ett polynom).

Testa både och se vilket som för dig framåt.

Det är inte alltid så vid problemlösning att man kan veta om man ska ta höger eller vänster vid en korsning. Ibland måste man bara identifiera att det finns två vägar, ta den ena, och om den inte leder någon vart gå tillbaka och ta den andra. 

När man tagit rätt väg eller fel väg några gånger så börjar man se ett mönster och kan göra ett bättre val i framtiden. 

Själva beräkningen att partiell integral har jag inga problem med, dock har jag "svårt" att hitta f(x) och g'(x), varför är det uppenbart att f(x)=lnx   ?

Tack!

Hej!

1. Om du integrerar $\ln x$ får du en mer komplicerad funktion som involverar $\ln x$; mer specifikt funktionen $x\ln x - x$. Detta leder inte till någon förenkling av ditt problem.
2. Om du deriverar $\ln x$ får du den enklare funktionen $1/x$ som ska multipliceras med en primitiv funktion till $x^3$, vilket resulterar i en bekväm polynomfunktion. 

Albiki skrev:

Hej!

1. Om du integrerar $\ln x$ får du en mer komplicerad funktion som involverar $\ln x$; mer specifikt funktionen $x\ln x - x$. Detta leder inte till någon förenkling av ditt problem.
2. Om du deriverar $\ln x$ får du den enklare funktionen $1/x$ som ska multipliceras med en primitiv funktion till $x^3$, vilket resulterar i en bekväm polynomfunktion. 

Tack!! 

pass skrev:

Själva beräkningen att partiell integral har jag inga problem med, dock har jag "svårt" att hitta f(x) och g'(x), varför är det uppenbart att f(x)=lnx   ?

 

Tack!

Om du inte vet, gör som SeriousCephalopod sa, testa!

Formeln för partiellintegration ser typ ut som:$\int g\left(x\right)f\text{'}\left(x\right)dx=...-\int f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)dx$

Det viktiga här är att i beräkning av integralen i högerledet vill vi ha något enklare än den i vänsterledet. Om du väljer, som i mina beteckningar, $f\left(x\right)=x^3, g\left(x\right)=\ln \left(x\right)$så får du att då behöver beräkna integralen $\int \frac{x^4}{4}*\frac{1}{x}dx$,vilket är mycket enklare. Men om du istället hade valt $f\left(x\right)=\ln \left(x\right), g\left(x\right)=x^3$ så hade du behövt beräkna $\int 3x^2*(\int \ln (x\left)dx\right)dx=\int 3x^2\left(x\right(\ln \left(x\right)-1\left)\right)dx$och det blev inte mycket enklare, exempelvis är ln(x) termen kvar och det blev bara jobbigare. Då kanske man kan testa det vi gjorde tidigare (om man valde att börja med de här som valen av f(x) och g(x)).

Det hela handlar om mycket erfarenhet om man vill kunna "se direkt" vad som ska vara vad.

Moffen skrev:

pass skrev:

Själva beräkningen att partiell integral har jag inga problem med, dock har jag "svårt" att hitta f(x) och g'(x), varför är det uppenbart att f(x)=lnx   ?

 

Tack!

Om du inte vet, gör som SeriousCephalopod sa, testa!

Formeln för partiellintegration ser typ ut som:$\int g\left(x\right)f\text{'}\left(x\right)dx=...-\int f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)dx$

Det viktiga här är att i beräkning av integralen i högerledet vill vi ha något enklare än den i vänsterledet. Om du väljer, som i mina beteckningar, $f\left(x\right)=x^3, g\left(x\right)=\ln \left(x\right)$så får du att då behöver beräkna integralen $\int \frac{x^4}{4}*\frac{1}{x}dx$,vilket är mycket enklare. Men om du istället hade valt $f\left(x\right)=\ln \left(x\right), g\left(x\right)=x^3$ så hade du behövt beräkna $\int 3x^2*(\int \ln (x\left)dx\right)dx=\int 3x^2\left(x\right(\ln \left(x\right)-1\left)\right)dx$och det blev inte mycket enklare, exempelvis är ln(x) termen kvar och det blev bara jobbigare. Då kanske man kan testa det vi gjorde tidigare (om man valde att börja med de här som valen av f(x) och g(x)).

Det hela handlar om mycket erfarenhet om man vill kunna "se direkt" vad som ska vara vad.

Tack!!