PARTIELL INTEGRATION: hur gör jag?

Du har gjort rätt, men fortsätt och förenkla och använd trigonometriska ettan:

     ${\int }_{}^{}\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)dx=-{\cos }^2\left(x\right)-{\int }_{}^{}\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)dx$.

Kalla integralen för $I$ så får du att 

     $I=-{\cos }^2\left(x\right)-I\iff 2I=-{\cos }^2\left(x\right)={\sin }^2\left(x\right)-1.$

Löser du ut $I$ genom att dela båda led på två så ger det

     $I=\frac{1}{2}{\sin }^2\left(x\right)+\frac{1}{2}+C.$

Du kan givetvis baka ihop 1/2 och C till en och samma konstant.

EDIT: Till alla som läser detta så vill jag bara säga att gamla pluggakuten var så mycket bättre på så många sätt.

En fråga: I den här uppgiften, är man tvungen att använda partiell integration? Personligen tycker jag det är svårt att motstå att skriva om $sinx*cosx$ till $\frac{sin2x}{2}$ och då lätt hitta primitiven till det som blir $\frac{-cos2x}{4} + C$. 

Japp, fungerar med. Så hade jag löst uppgiften men eftersom man tydligen vill öva på partiell integration så vill man även visa den metoden.

Eller sätta t = sin x

Eller sätta $u=cos(x)$