Partiell integration

Det blir med partialintegration, och ditt val av funktioner,

$\int_1^{e^2} (x+ \ln x) dx = [ x (x + \ln x) ]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} x(1+ 1/x) dx$

pi-streck=en-halv skrev :

Det blir med partialintegration, och ditt val av funktioner,

$\int_1^{e^2} (x+ \ln x) dx = [ x (x + \ln x) ]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} x(1+ 1/x) dx$

Men det är det jag har skrivit? Bara det att jag inte kan skriva symbolerna (jag vet inte hur man gör). Jag får fel värde när jag skriver in gränserna.

$$\begin{gathered} {\int }_1^{e^2}(x+\ln x)dx={\int }_1^{e^2}xdx+{\int }_1^{e^2}\ln x dx={{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_1}^{e^2}-{{\left[x \ln x -x\right]}_1}^{e^2}= \\ \frac{e^4-1}{2}-\left[2e^2-e^2+1\right]=\frac{e^4-1}{2}-e^2-1 \\ observera: \\ \int \ln x dx=UV-\int VdU=x \ln x -\int dx=x \ln x -x+C \\ vi antar att \left\{\begin{array}{l}U=\ln x så dU=\frac{dx}{x}\\ dv=dx så V=x\end{array}\right. \end{gathered}$$

Okej, om du menar det jag skrev, så borde det bli rätt.

Men, du skrev ju "x*(x+lnx) - (x*(x+(1/x)))". Det är svårt att hänga med på att den första termen ska utvärderas med gränserna, och att den andra termen först ska integreras.

Men, du har glömt att derivera x, i andra termen, $x(x+(1/x))$, borde vara $x(1 + 1/x)$

Mitt fel, jag erkänner det. Men jag vet inte hur man skriver i så fina symboler som ni skriver med (?) så jag skrev en massa parenteser, vilket kan förrvirra. 

Det jag gjorde fel är att du ska omvandla minus till plus.

$+{{\left[x \ln x-x\right]}_1}^{e^2}$ 

och sen gör ändringar vid behövs.

 Mitt fel, jag erkänner det. Men jag vet inte hur man skriver i så fina symboler som ni skriver med (?) så jag skrev en massa parenteser, vilket kan förvirra. 

Behärskning få sitt genombrott genom smart och regelbunden övning.

$\int_1^{e^2} (x+ \ln x) dx = [ x (x + \ln x) ]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} x(1+ 1/x) dx$ =

$(e^4 + 2e^2 - 1) - (e^4/2 + e^2 - 1/2 - 1) = e^4/2 + e^2 + 1/2$