Partiell integration

Vet du vad en primitiv funktion är? Om Ja, var god förklara!

Albiki skrev :

Vet du vad en primitiv funktion är? Om Ja, var god förklara!

Ja, (x^2)/2 är en primitiv funktion till x

alltså en primitiv funktion är en funktion som man deriverar för att få fram den funktionen du redan har. 

Derivatan baklänges. 

Vet dock inte hur det ska hjälpa.

Vet inte om jag förstår frågan, men undrar du över varifrån symbolen kommer? Har du lärt dig om integraler än? Annars får du nog en förklaring där, men jag kan försöka ge mig på en förklaring här nedanför.

Det första tecknet, som ser ut som ett S, kommer från "Summa" (på tyska egentligen, men som tur är ger det samma initial på svenska :)) och dx är oändligt små steg i x-led. Man multiplicerar alltså funktionsvärdet f(x) med ett litet steg i x-led, och får då en liten rektangel med höjden f(x) och bredden dx. Sedan summerar man alla sådana små rektanglar och får hela arean under grafen.

Om man vill derivera det, så vet du att derivatan definieras av gränsvärdet för differenskvoten $\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$. Om vi stoppar in arean där (summan av alla smårektanglar), och använder steget dx, så får vi bara kvar den sista lilla rektangeln i täljaren. Vi får alltså

$\frac{\left(\text{Hela arean ink. sista rektangeln}\right) - \left(\text{Hela arean ex. sista rektangeln}\right)}{dx}=\frac{\text{Sista rektangeln}}{dx}=\frac{f\left(x\right)dx}{dx}=f\left(x\right)$

Så när vi deriverade arean fick vi tillbaka f(x), och det var ju det vi ville med en primitiv funktion. Alltså är "Summan av f(x) gånger små steg dx", $\int f\left(x\right)dx$, en primitiv funktion till f(x).

I denna tråd känner jag mig nästan tvungen att slänga in denna härledning, vi använder partiell integrering

$\int \frac{1}{x}dx=\frac{x}{x}+\int \frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x^2}}dx=1+\int \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}dx$

Subtrahera $\int \frac{1}{x} dx$ från båda sidorna och erhåll

0 = 1

Vad är det som går fel i beräkningen?

haraldfreij skrev :

Vet inte om jag förstår frågan, men undrar du över varifrån symbolen kommer? Har du lärt dig om integraler än? Annars får du nog en förklaring där, men jag kan försöka ge mig på en förklaring här nedanför.

Det första tecknet, som ser ut som ett S, kommer från "Summa" (på tyska egentligen, men som tur är ger det samma initial på svenska :)) och dx är oändligt små steg i x-led. Man multiplicerar alltså funktionsvärdet f(x) med ett litet steg i x-led, och får då en liten rektangel med höjden f(x) och bredden dx. Sedan summerar man alla sådana små rektanglar och får hela arean under grafen.

Om man vill derivera det, så vet du att derivatan definieras av gränsvärdet för differenskvoten $\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$. Om vi stoppar in arean där (summan av alla smårektanglar), och använder steget dx, så får vi bara kvar den sista lilla rektangeln i täljaren. Vi får alltså

$\frac{\left(\text{Hela arean ink. sista rektangeln}\right) - \left(\text{Hela arean ex. sista rektangeln}\right)}{dx}=\frac{\text{Sista rektangeln}}{dx}=\frac{f\left(x\right)dx}{dx}=f\left(x\right)$

Så när vi deriverade arean fick vi tillbaka f(x), och det var ju det vi ville med en primitiv funktion. Alltså är "Summan av f(x) gånger små steg dx", $\int f\left(x\right)dx$, en primitiv funktion till f(x).

Jag vet vad summa tecknet betyder

jag vet att dx betyder delta y -> 0

Jag kan derivatans definition och vet att dy/dx ger derivatan.

att derivera arean är nytt och det har jag inte sett någonstans eller fått förklarat för mig av någon på detta sättet. Kan du förklara mer angående den punkten.

Stokastisk skrev :

I denna tråd känner jag mig nästan tvungen att slänga in denna härledning, vi använder partiell integrering

$\int \frac{1}{x}dx=\frac{x}{x}+\int \frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x^2}}dx=1+\int \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}dx$

Subtrahera $\int \frac{1}{x} dx$ från båda sidorna och erhåll

0 = 1

Vad är det som går fel i beräkningen?

Kikar på den sen. Den uppgiften kommmer snart i boken.

Det jag gjort är helt enkelt att jag stoppat in arean under grafen, uppbygd av många små rektanglar, i derivatans definition. Jag betraktar alltså arean som funktionsvärdet. När man subtraherar får man bara kvar den sista lilla rektangeln, med höjd f(x) och bredd dx, i täljaren. Alltså f(x)*dx. I nämnaren har vi steglängden dx. När vi dividerar får vi kvar f(x).

Eftersom vi fick ut f(x) när vi stoppade in arean i derivatans definition så är derivatan av arean f(x). Alltså är arean en primitiv funktion till f(x).

haraldfreij skrev :

Det jag gjort är helt enkelt att jag stoppat in arean under grafen, uppbygd av många små rektanglar, i derivatans definition. Jag betraktar alltså arean som funktionsvärdet. När man subtraherar får man bara kvar den sista lilla rektangeln, med höjd f(x) och bredd dx, i täljaren. Alltså f(x)*dx. I nämnaren har vi steglängden dx. När vi dividerar får vi kvar f(x).

Eftersom vi fick ut f(x) när vi stoppade in arean i derivatans definition så är derivatan av arean f(x). Alltså är arean en primitiv funktion till f(x).

Så försökte min lärare förklara det för mig. Jag ställde frågan, hur kan detta betyda en primitiv funktion? $\int f\left(x\right)dx$   

Förstår väl nästan.. Han skriver upp derivatan för den primitiva funktionen "integral style"