Partiell integration

Hej!

Hade behövt hjälp att lösa denna uppgiften, ska utveckla integralen med partiell integration:

$\int x^{3} * \ln (x) d x$ .

Lösning:

$L å t e r U = \ln (x) d å ä r d U = \frac{1}{x}, l å t e r d V = x^{3}, d å ä r V = \frac{x^{4}}{4} . S ä t t e r i n d e t t a i : \int U * d V = U * V - \int V * d U, o c h f å r : \int \ln (x) * x^{3} = \ln (x) * \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{x^{4}}{4} * \frac{1}{x} .$

Kompenserar först med $\frac{x}{1}$ , utanför den nya integralen, sedan bryter jag ut: $\frac{1}{4}, d å f å r j a g, \frac{x}{1} * \frac{1}{4} \int x^{4} * \frac{1}{x}, d ä r v i i n t e g r e r a r x^{4} i g e n, s å a t t v i f å r : \frac{x}{1} * \frac{1}{4} \int \frac{x^{5}}{5} * \frac{1}{x}, s å j a g f å r d e n p r i m i t i v a f u n k t i o n e n : \frac{x^{4}}{4} * \ln (x) - \frac{x^{6}}{20} + C .$

Vilket är fel eftersom den primitiva funktionen ska bli:

$\frac{x^{4}}{4} * \ln (x) - \frac{x^{4}}{16} + C .$

Fattar inte vad det är jag gör för fel?

Hej, varför "kompenserar" du med $x$ ?

För att dU är 1/x?

Jag tror det kan blivit lite missuppfattning, det jag tror är att ditt dU är d/dx(U)=1/x. Du har alltså gjort rätt fram tills du kommer till beräkning av integraler, där du börjar kompensera, det räcker med att beräkna $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{x^{4}}{4} \frac{1}{x} d x = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + C$ .

(Jag antar att det kanske är din föreläsare som föredrar att skriva dU, vilket jag tycker kan vara väldigt missvisande)

Tillägg:

Jag tror missuppfattningen kan ligga i att du blandar in substitution, vilket inte är nödvändigt i detta fall.

JAg tycker att det mest lättförstådda sättet att skriva formeln för partiell integration är den här:

Ibland (läs: ofta!) ser man den här skrivningen, som visserligen är samma sak, men ngt förvirrande:

Tack, men vet fortfarande inte om jag förstår riktigt. Alltså om man utgår från högerledet, där jag integrerat $x^{3}$ och deriverat $\ln (x)$ :

$\frac{x^{4}}{4} * \ln (x) - \int \frac{x^{4}}{4} * \frac{1}{x},$ där vi alltså bryter ut $\frac{1}{4}$ ? För att sedan integrera $x^{3}$ igen?

julia.ehr skrev:
Tack, men vet fortfarande inte om jag förstår riktigt. Alltså om man utgår från högerledet, där jag integrerat $x^{3}$ och deriverat $\ln (x)$ :

$\frac{x^{4}}{4} * \ln (x) - \int \frac{x^{4}}{4} * \frac{1}{x},$ där vi alltså bryter ut $\frac{1}{4}$ ? För att sedan integrera $x^{3}$ igen?

Precis så ska man göra !

Svara

Visa senaste svar