Partiell integration

Jag är lite osäker på om det här går in under partiell integration.
Problemet är att jag inte förstår vissa operationer som utförts.

Så uppgiften ser ut som följer:

$B e r ä k n a \int_{0}^{1} 2 x \ln (1 + x^{2}) d x$

Min uträkning än så länge:

$x^{2} \ln (1 + x^{2}) - \int \frac{2 x^{3}}{1 + x^{2}} d x$

I lösningsförslaget har man sedan fortsatt att utveckla vad som står innanför integraltecknet till:

$\int (2 x - \frac{2 x}{1 + x^{2}}) d x$

Vad är det man har gjort här?

De har utfört polynomdivision.

För övrigt, är det inte extremt krångligt att använda partialintegration här? Lösningen faller ju ut direkt om man gör substitutionen $t=1+x^{2}$ ..

Man har brutit upp bråket i sina beståndsdelar $2 x - \frac{2 x}{1 + x^{2}} = \frac{2 x (1 + x^{2}) - 2 x}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{1 + x^{2}}$ Här ser du att det är samma sak.

Man gör så här eftersom gradtalet i täljaren är högre/lika med gradtalet i nämnaren, annars kan man ej bryta upp bråket.

Detta är väldigt användbart vid partialbråksuppdelning (PBU) om du vet vad det är, det gör svåra integraler mycket enklare!

Svara